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Ladislaus v. Bortkiewicz, 
Gesetzt, daß in jedem Versicherungsjahre die Zinsen, welche das ange 
sammelte Kapital Rk-i und die am Anfang desselben (k tcn ) Jahres eingezahlte 
Prämiensumme ak_i abwerfen, nicht mehr betragen, als zur Deckung der Aus 
zahlungen bt erforderlich ist, derart, daß 
—~— (Rk—1 -|~ a k—l) <C t>k, (44) 
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so kann man die Jahreszinsen jeweils zur Auszahlung der fälligen Versicherungs 
summen mit verwenden und auf diese Weise eine Kapitalisierung von Zinsen 
vermeiden. 
Nichtsdestoweniger würde man auch in diesem Falle die Größe R m nach 
der Formel 
R m = a 0 r m -j- a^™ -1 -}- .... -j- a m —1 r—(b^® -1 -J- b 2 r m_a -f- .... -j- b m ) (45) 
berechnen können. Denn diese Formel läßt sich aus Schema (43) herleiten, 
welches auch dann gilt, wenn die Ungleichung (44) erfüllt ist und daher keine 
Zinseszinsen in die Erscheinung treten. Man erhält nämlich aus (43): 
a 0 r ,n —b L r ,u—1 = R^" 1 - 1 
R l r ra ~ 1 -f- a^“ -1 —b 2 r m—2 = R 2 r m ~ 2 
Rm—~j - a m—2L b m — R-m—iT 
Rrn—iT ~j - a m—l4 ~ bm Fk-m 
und durch Zusammenaddieren dieser m Gleichungen ergiebt sich die Formel (45). 
Letztere kann, wenn man die Bezeichnung 
1 
— — o 
r 
einführt, wie folgt, geschrieben werden: 
Rm = r m {a 0 -[- a^ -(- a 2 ^ 2 -j- . . . -J- am-iß" 1 “ 1 —(b^ -j- b 2 @ 2 -|- . . . -J- b m @ m )}. (46) 
Formel (46) bringt in allgemeinster Form die Methode zum Ausdruck, 
nach welcher die Prämienreserven bestimmt werden. Wenn dann die Anzahl 
der Jahre, nach deren Ablauf die Versicherung notwendig erlischt, mit n be 
zeichnet wird, so hat man nur in Formel (46) m — n und R n = o zu setzen, um 
auf die Gleichung 
a o a iQ • • • • (— a n—1 1 = bj ^ —j— b 2 g>- —j— .... -j- b n @ n (47) 
zu kommen, welche der Berechnung der (Netto-)Prämien zugrunde gelegt wird 
und welche besagt, daß der Jetztwert der Einzahlungen der Versicherten dem 
Jetztwert der Auszahlungen des Versicherers gleich sein muß.