DIGRESSION SUR LA MESURE DES AIRES ET DES VOLUMES 83
devoir rappeler tout de suite, dans un paragraphe spécial formant
parenthèse, les règles bien connues du « système métrique », qui
permettent le calcul des aires et des volumes. D’une part, en effet,
l’exposé de ces règles n’offre au point de vue de la géométrie des
figures qu’un intérêt secondaire. Et d’autre part, il complétera
utilement ce que nous avons dit et dirons encore du calcul des
grandeurs, en nous faisant voir nettement de quelle manière les
grandeurs géométriques peuvent se combiner suivant les lois de
l’arithmétique.
3. — Digression sur la mesure des aires et des volumes
en géométrie rationnelle.
70. — Revenons d’abord un peu en arrière, et complétons par
quelques remarques les observations que nous avons présentées
touchant le problème de la mesure.
Soit à mesurer une aire plane (n° 55). Prenant comme unité
d’aire le mètre carré — c’est-à-dire l’aire du carré dont le côté
est long d’un mètre,— nous pouvons, théoriquement du moins,
placer sur la surface à mesurer (de manière à la recouvrir aussi
exactement que possible) un certain nombre de carrés égaux
à l’unité ou de fractions de ces carrés (cf. n° 55). Mais comment
réaliserons-nous en fait, une semblable opération? Ou plutôt,
puisquelle n’est pas réalisable, comment, pourrons-nous en prévoir
le résultat sans l'effectuer. Telle est la question à laquelle ont dû
répondre les premiers géomètres. La même question se pose au sujet
des volumes (cf. n° 60) lorsqu’on cherche à les mesurer en prenant
pour unité le mètre cube, c’est-à-dire le volume du cube dont le
côté est i.
71. — Le problème ainsi formulé peut être étudié de deux
points de vue différents. On peut renoncer de prime abord à trouver
une mesure exacte de la grandeur que l’on considère : c’est ce que
fait la géométrie empirique. On peut au contraire, — et c’est là ce
que veut faire la géométrie rationnelle, — chercher à établir qu’étant