DIGRESS10X SUR LA ¡M ES URE DES ATRES ET DES VOLUME8 85
théorèmes, compléter les figures sur lesquelles elle raisonne en y
adjoignant (par la pensée tout au moins) certains points, ou lignes,
ou surfaces auxiliaires. Les opérations qu elle effectue reviennent
donc, en définitive, à des constructions théoriques de certaines
figures géométriques qui sont en relation avec les figures données
(sur le sens du mot construction en géométrie, voir ch. ni, § 5).
C’est par de tels moyens, nous l’avons vu, qu’Archimède a dé
terminé la longueur de la circonférence. C’est également par de
tels moyens que la géométrie rationnelle enseigne à calculer les
aires et les volumes formés par les figures les plus simples.
73. Aire d’un rectangle. Produit de deux longueurs. —
Cherchons à mesurer l’aire d’un rectangle ABGD (quadrilatère dont
les quatre angles sont droits) sachant que les côtés AB et BC ont
respectivement pour mesures (par rapport à Limité de longueur)
les nombres a et b.
Supposons, en premier lieu, que les nombres a et b soient entiers.
Nous considérerons d’abord le rectangle BCG^ dont les côtés,
BC et BBj ont pour mesures a et i
(fig. a5). Portant sur BC la longueur
BG de mesure i, je construis le carré
BGGiB dont la surface sera prise pour
unité d'aire (n° 69). Or on voit immé
diatement qu’autant de fois la longueur
BG contient la longueur-unité BG,
autant la bande rectangulaire BCGJ1 contient de carrés égaux
à BGGJ3. Donc l’aire de celte bande rectangulaire a pour mesure
le nombre a [a mètres carrés si Limité de longueur est le mètre] .
Cela dit, le rectangle ABCD contient évidemment autant de bandes
rectangulaires égales à BGCjB que le côté AB contient de fols la
longueur-unité BBi : il en contient donc h. J’en conclus que le
rectangle proposé ABGD, contient a X b carrés égaux à Limité
d’aire : il a pour mesure le produit a x b C).
Si les nombres a et b, au lieu d’être entiers, étaient simplement
rationnels, on parviendrait à la même conclusion à condition de (*)
(*) C’est pourquoi le produit a X b de deux nombres cardinaux est dit
nombre plan : il représente une surface (portion du plan), celle d’un rec
tangle.