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LES GRANDEURS
prendre une unité auxiliaire contenue un nombre exact (entiei) de
fois (') dans a et dans b.
Supposons maintenant que les longueurs AB et CD n’aient point
de mesures exactes (nombres rationnels) par rapport a 1 unite BB 1#
En ce cas nous ne pouvons donner du rectangle ABC (par rapport
à l’unité d’aire) qu’une mesure approchée. Désignant par a, /5 des
mesures arbitrairement approchées de AB et CD, nous pouvons
construire un rectangle dont les côtés aient pour mesure a et /3 et
qui recouvre avec une approximation arbitrairement grande le
rectangle donné. Plus les mesures a et /3 seront approchées, plus le
produit a X /5 sera une mesure approchée du rectangle ABCD.
Ces remarques nous conduisent à regarder en tout cas la cons
truction d’un rectangle dont les côtés sont des longueurs données
AB, CD, comme une opération équivalente à la multiplication arith
métique. Nous dirons que Vaire du rectangle ABCD (rectangle
construit sur AB et CD) est le « produit ( 2 ) » des deux longueurs AB
et CD [appelées « dimensions » du rectangle]. Pour avoir une
mesure exacte ou approchée de ce produit, on n’a qu’à faire le
produit des mesures exactes ou approchées des deux longueurs.
D'ailleurs, en conséquence des théorèmes de la géométrie, la
u construction » d’un rectangle dont on connaît deux dimensions
est toujours réalisable avec la règle et le compas ( 3 ). La multipli
cation géométrique est donc une opération parfaitement et rigou
reusement délinic.
74. — Ces préliminaires posés, si nous démontrons d’une aire
donnée quelconque qu’elle est égale (n° 55) à l’aire d’un rectangle
(‘) Cela est toujours possible puisque les’fractions qui ont pour valeurs
a et b peuvent toujours être réduites au même dénominateur. Soit n ce
dénominateur : la u iètne partie de l’unité de surface sera l’unité auxiliaire
requise.
0 Au lieu de dire que le rectangle est un produit, les anciens emplo
yaient le mot rectangle (rectangle de d.ux quantités, rectangle de deux
nombres) dans le sens où nous prenons le mot produit. Nous avons nous-
mêmes continué à appeler carré le produit d’un nombre par lui-mème.
Le carré d’une longueur AB est désigné par le symbole AB 2 .
( 3 ) Prenant sur une droite un segment AB ayant pour longueur une
dimension a du rectangle, il faudra mener en A et B des perpendiculaires
à AB (sur lesquelles on prendra des longueurs égales à b) : or c’est là
une construction que la géométrie rationnelle enseigne à faire très sim
plement [vide infra, 234).