DIGRESSION SUR LA. MESURE DES AIRES ET DES VOLUMES Ç)5.
des hauteurs égales ( 1 ), et dont les bases ont pour somme l’aire de
la base polygonale proposée. On en conclut que le volume de la
pyramide est toujours 1 g produit de l’aire de sa hase par le tiers de
sa hauteur ( 2 ).
84. Aire du cercle. — Nous ne nous sommes occupés jusqu’ici
que d’aires ou de volumes limités par des droites ou des faces
planes. C’est qu’en effet, quelque combinaison d’opérations connues
(cf. n° 63) que l’on opère sur l’unité de surface (plane) ou l’unité
de volume, on n’obtiendra jamais comme résultat — si ce n'est
dans des cas très exceptionnels — ni une aire plane limitée par
une ligne courbe, ni un volume limité par une surface courbe (sur
face non-plane). Les mesures de semblables aires ou volumes ne
pourront donc pas, en général, être ramenées par un procédé
théorique exact ( 3 ) à des mesures de longueurs rectilignes ainsi
(') toutes égales à la hauteur de la pyramide proposée, c’est-à-dire à
la longueur de la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base [par
l’expression « hauteur de la pyramide » nous désignons, suivant les cas,
cette perpendiculaire ou sa longueur, cf. p. 88, note 1].
( 2 ) La découverte de cette proposition est attribuée à Eudoxe de Cxide
[ride supra, n° 78]. — Rappelons qu’à l’étude la pyramide se rattache
celle d’un corps solide remarquable qui a joué un grand rôle en géomé
trie : c’est la pyramide tronquée ou tronc de pyramide (Trupap-iç xoXoupoç-
ou 'rsOpaucrpivr,) portion de pyramide comprise entre la base et un plan
parallèle à la base ; ce plan coupe les diverses faces s
latérales de la pyramide suivant des segments de d\
droites dont la réunion forme un polygone, appelé / \
hase supérieure du tronc ; la base de la pyramide en
est la hase inférieure; ainsi, la figure ABCA'B'C'
ci-contre est un tronc de pyramide à bases trian
gulaires. Le tronc de pyramide est la différence des
deux pyramides [sur la figure : SABC, SA B,G ] ; il
a pour hauteur la différence SH-SH' des hauteurs
des deux pyramides. Appelons h la mesure de cette hauteur, h et h
les mesures (exactes ou arbitrairement approchées) des aires des deux
bases (inférieure et supérieure) : la mesure du volume du tronc de pyra
mide est donnée en termes précis, au i er ou au 11 e siècle ap. J.-G., par
Hérox d’Alexandrie [Stereometrica I, chap. 33, 34, Metrica. liv. II) ;
elle a pour expression (exacte ou arbitrairement approchée) :
~ X (b + b' + y b x b ).
( 3 ) c’est-à-dire conduisant à la mesure exacte et non pas seulement
à une mesure approchée. C’est pourquoi le problème de la détermination
des aires et volumes courbes est exclu des Eléments d Eucliee. Euclide se
borne à des comparaisons de telles aires ou de tels volumes entre eux
