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LES GRANDEURS 
qu’il a été requis au n° 72. Mais, si l’on suppose connue la longueur 
d’une courbe, par exemple, la longueur du cercle de rayon i, on 
peut déduire de cette longueur la grandeur de nombreuses surfaces 
ou volumes dans la figure desquels entre cette courbe. 
Proposons-nous, tout d’abord, de déterminer l’aire du cercle. 
Inscrivons dans le cercle de centre O, comme nous l’avons déjà 
fait, au n° 65, un polygone régulier ayant un très grand nombre 
de très petits côtés égaux AB, BC, ... et dont le contour est üès 
voisin du contour du cercle. L’aire de ce polygone est la somme 
des aires des triangles OAB, OBC, etc. Tous ces triangles sont 
d’ailleurs égaux (comme ayant leurs trois côtés 
égaux, voir 173) et leurs hauteurs OIT, 
OIT, etc., sont par conséquent toutes égales (la 
longueur commune de ces hauteurs est appelée 
apothème). Si donc le polygone a n côtés, son 
aire est égale à n fois faire du triangle OAB, 
Fig. /16. c'est-à-dire à n fois le demi-produit de la lon- 
gueurAB par la longueur OH, ou, si l’on veut, égale au demi-pro 
duit de la longueur OH par la longueur du périmètre du polygone 
(ce périmètre égale n fois AB). Cela dit, multiplions indéfiniment 
le nombre des côtés du polygone, de manière que son contour se 
rapproche indéfiniment du contour du cercle; la longueur OII est 
de plus en plus voisine de la longueur du rayon du cercle, et le 
périmètre et faire du polygone se rapprochent de 
plus en plus de la longueur et de faire du cercle. 
Nous concluons C) de là que l'aire {-) du cercle est 
égale au demi-produit de la longueur de son rayon 
par la longueur de sa circonférence ( 3 ). 
La meme démonstration établit que faire d’un secteur circulaire 
C) Pour rendre la démonstration rigoureuse, il faut suivre la voie qui 
a été indiquée au § 2, 
( 2 ) Archimède énonce ainsi ce théorème : [KuxXou ¡¿expiât?, Œuvr., 
éd. Heiberg I, p. 282] 115? xuxXo; taoç eax't xpiyi6vtp opOdyamip 00 r t plv 
xoO xsvxpou »ir, p’à xüjv irept xr,v op0r,v, f, Sè TcspfuLExpoç xfi piaôi. Tout 
cercle est égal à un triangle rectangle, son rayon étant égal à un des côtés 
de l’angle droit et son périmètre à la base du triangle rectangle. 
f) Lorsque nous aurons défini les nombres irrationnels et transcendants 
nous pourrons dire que la mesure de Paire du cercle dont le rayon a 
pour mesure le nombre r est ~ X 2.ir.r, donc 1 x r 2 (voir n° 68b