RAPPORTS ET PROPORTION S
IOI
Bornons-nous, pour l’instant, à remarquer que l’on peut ins
crire dans la sphère ou circonscrire à la sphère un polyèdre ayant un
nombre arbitraire de laces ; le polyèdre est dit inscrit, dans la sphère
si tous ses sommets sont sur la surface de la sphère ; il est dit cir
conscrit à la sphère si toutes ses faces sont tangentes à la sphère
(la touchent en un point seulement et ne le traversent pas).
Cela posé, en raisonnant comme nous l’avons fait sur le cercle
au n° 84, on constate que si le polyèdre inscrit ou circonscrit a un
très grand nombre de faces très petites, sa surface (ensemble de
ses faces) est une figure qui se confond presque avec la surface de
la sphère, son volume est très voisin du volume de la sphère. Sup
posons alors que nous puissions évaluer l’aire de la surface (somme
des aires des faces) et le volume d’un polyèdre inscrit ou circons
crit à n faces, — polyèdre dont la forme reste à notre discrétion
pourvu que les faces soient arbitrairement petites quand leur
nombre n est arbitrairement grand : nous aurons ainsi, de Faire
et du volume de la sphère des valeurs arbitrairement approchées.
Nous parviendrons ainsi aux résultats bien connus que voici (*) :
L’aire de la surface de la sphère est le quadruple de l’aire d’un
grand cercle. Le volume de la sphère est égal au produit de l’aire
de sa surface par le tiers de la longueur de son rayon (*).
4. Rapports et proportions
88. — La mesure, telle que nous l’avons définie au § 2, indique
combien de fois l’unité est contenue dans la grandeur mesurée.
Elle est donc relative à l’unité et variable en même temps qu’elle :
ainsi la longueur qui a pour mesure i 609 en kilomètres mesure
(') pour l’aire, pour le volume, avec les notations et dans
les conditions indiquées page 96, note 3.
( 2 ) Archimède a présente ces faits sous diverses formes; il énonce en
particulier comme il suit le théorème relatif au volume : 0 /.oXivopo; ô
PaT'.v usv e/ojv ’'ar ( v zïo jjleyitjtüi xj/.Àüj xwv vi z'f { aoaipa, inloi oi ’.ffov Tfj
otxuÉTpqj z7 t c (Tœatpac auzvç zt izzL aoaipa.;, /.al r, î-upavîia
(surface totale c’est-à-dire surface latéral plus surfaces des bases) aoToà
xijç èirtçxvstai zr^ acpatpa; (flspi atpafpaç /.ai xuXivSpouî, I préface). Sur
le tombeau d’Archimède, un monument représentant la sphère et le cy
lindre circonscrit (qui a pour hase un grand cercle) immortalisa l’énoncé
de ce théorème.