LES GRANDEURS 
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B'C' 
métrie, que ces rapports sont aussi égaux au rapport BC comme 
nous l’avons déclaré. 
l’affirme notre 
, AB' AC' 
91.— Mais cette égalité des rapports qn 
proposition, peut-elle, elle-même, être démontrée ? On ne saurait la 
prouver que par des considérations arithmétiques. Du point de vue de 
la géométrie, il faut l’admettre a priori (ou admettre une proposi 
tion équivalente), ce cjm revient ci voir dons la consti notion des 
géomètres grecs la définition meme de la similitude et de légalité 
des rapports de longueurs. Nous dirons, en d autres termes, que le 
f p rapport de deux longueurs l * (*) 
' et m est égal au rapport de 
deux autres longueurs n et p, 
si ces longueurs satisfont à la 
condition géométrique sui 
vante : Sur deux demi-droites 
arbitraires Ox, O y issues d’un 
même pointO, je porte à partir 
de O des longueurs égales à /, m, n, p [savoir OA = /, OB — m 
sur Ox, et OC = n, OD = p sur Ojj ; les deux rapports seront 
dits éfjaux si les droites AG et BD sont parallèles (fig. 60). 
Semblable définition ne se trouve toutefois justifiée que par ce 
fait que, dans le cas où elle est arithmétiquement contrôlable, — 
c’est-à-dire lorsque les quatre segments l, m, n, p sont exacte 
ment mesurables, — elle est en effet véridique (’). De ce fait, 
F¡£. 60. 
(*) Supposons que l’unité ou sous-unité de longueur soit contenue un 
nombre exact de fois dans AB et dans B'B, par exemple a fois dans AB' et 
3 fois dans B'B. Divisons AB en cinq segments égaux à 
l’unité, et par les extrémités de ces segments, menons 
les parallèles à BC qui coupent AC aux points C u C', 
C 2 , C 3 . Je démontre que les segments C,C', C'C.,, C.,C 3 , 
C 3 C sont tous égaux à ACj : [menons C. 2 D parallèle à 
AB ; la figure B 2 B 3 C 2 D est un parallélogramme (n° j5) ; 
donc C 2 D — B,B 3 = ABi ; d’ailleurs les angles des 
triangles ABjC, et C 2 DC 3 sont égaux (vide infra, i(>8) ; 
donc ces triangles sont égaux et 1 on a C2C3 = ACi ; la même démonstra 
tion s applique aux segments CjC , ..., C 3 CJ. Il résulte de là que le point C' 
est aux deux tiers de AC comme le point B' est aux deux tiers de AB. On 
laisonnera semblablement si B C est hors du triangle [cas des figures 5q).