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LES GRANDEURS 
longueurs (’). Le quotient des deux longueurs AB, CD, par 
AB CD , . , 
exemple, est le quotient des deux rapports , c est-a-dire 
le rapport pp, représenté lui-même par une longueur. Le produit 
de AB par CD est également une longueur (voir la construc 
tion de Descartes, note i). Dans les paragraphes précédents, au 
contraire, nous n’avions su définir le produit de deux longueurs 
qu'en tant qu’il représente la surface d’un rectangle. 
96. Proportions. — Pratiquement, le calcul des rapports sert 
surtout à l’étude et à la transformation des couples de rapports 
égaux que l’on a coutume d’appeler « proportions ». 
Soient données quatre longueurs que je désignerai par les lettres 
A c 
majuscules A, B, C, D. Si le rapport p est égal au rapport on 
A G 
dit que le couple des rapports ^ et ^ constitue une proportion {-). 
P) Longueurs déduites, au moyen d’une construction géométrique 
[vide, chap. ni. § 5), des longueurs sur lesquelles on opère. L’idée de 
représenter par une longueur le résultat de toute opération effectuée sur 
des longueurs, — idée d’une portée considérable —- s’est précisée dans 
l’esprit de Descartes entre l’époque où il écrivit les Regulae ad directionem 
ingenii (vers i6aq) et l’année où il composa sa Géométrie (1636-87). Dans 
les Regulae (qui sont, il est vrai, inachevées), Descartes représente encore 
un produit par une surface. Dans la Géométrie, au contraire, il s’exprime 
ainsi [Œuv. de Descartes, éd. Ad.-Tan., VI, p. 870) : 
« Soit, par exemple, AB l’unité, et qu’il faille mul 
tiplier BD par BC; je n’ai qu’à joindre les points A 
et C, puis tirer DE parallèle à CA, et BE est le 
produit de cette multiplication.— Ou bien, s’il faut 
diviser BE par BD, ayant joint les points E et D, je 
tire AC parallèle à DE, et BC est le produit de cette 
division ». 
« Et il est à remarquer, ajoute plus loin Des 
cartes, que par a 3 ou b 3 ou semblables, je ne conçois ordinairement que 
des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usités en 
algèbre, je les nomme des carrés ou des cubes, etc. » Voir aussi sur le 
calcul des longueurs, Deux. lia. ch. ni. 
( 2 ) Le mot latin proportio a souvent été pris, autrefois, dans le sens 
de rapport [ratio). Ce n’est qu’au xvm e siècle que son sens fut définiti 
vement fixé [Jacques Bernouilli en donne la définition suivante [De 
rationibus et proportionibus (1688) : « Si rationes æquales invicem compa 
rantur, exislit proportio »].