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LES GRANDEURS 
Eu elide établit toutes ces propositions parla géométrie; nous 
ne le suivrons pas dans cette voie, car nous arriveions bien plus 
rapidement aux mêmes résultats en employant les méthodes de 
l’Arithmétique, à laquelle nous allons pouvoir ramener toute la 
théorie ties proportions; il nous suffira, pour cela, de fane subir a 
la notion générale de nombre une nouvelle extension, bai die en 
apparence, mais parfaitement naturelle au point où nous en 
sommes. 
97. Les rapports sont des nombres. — Je dis que les rap 
ports de longueur (ou, plus généralement, les rapports de gran 
deurs géométriques d'un même type quelconque) constituent une 
classe de pseudo-nombres sur lesquels on peut effectuer toutes les 
opérations de VArithmétique et qui renferme comme sous- classe la 
classe des nombres rationnels. 
A 
Considérons un rapport-g. Si les deux longueurs A, B, sont 
A 
corn me ns arables (vide n°61), ce rapport g, on l’a vu, doit être re 
gardé comme un nombre rationnel (rapport des mesures de A et 
de B). 
Supposons maintenant que A et B soient incommensurables (*) ; 
le rapport g n’est plus un nombre rationnel, maison peut le repré- 
scnler avec une approximation aussi grande que l’on veut par 
un nombre rationnel (dit valeur approchée du rapport); car, si l’on 
calcule (en choisissant convenablement l’unité) des mesures a, |S 
de A et B suffisamment approchées (n° 61) le rapport ^ des Ion- 
r 
gueurs mesurées par a et [3 pourra être aussi voisin qu’on le vou 
dra de g. D ailleurs nous avons vu que l’on peut effectuer sur les 
rapports de longueurs incommensurables toutes les opérations 
fondamentales définies plus haut. 
En résumé les rapports sont parfois des nombres rationnels et 
parfois n’en sont pas; mais ils se prêtent toujours à des opérations 
f 1 ) Ce cas se présente, par exemple (d’après le n° 63) si les segments 
de longueur A et B sont, l’un un côté, l’autre l’hypoténuse d’un triangle 
rectangle qui a ses deu,x petits côtés égaux.