RAPPORTS ET PROPORTIONS 
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bien définies, opérations qui coïncident rigoureusement avec les 
opérations de l'arithmétique dans le cas ou les rapports sont des 
nombres rationnels. 
Ces remarques nous incitent à donner aux rapports de longueurs 
le nom de nombres ; nous les appellerons « nombres algébriques » 
et les qualifierons irrationnels dans le cas où ils ne sont pas des 
nombres rationnels. 
En particulier, si nous prenons la longueur B pour longueur- 
unité, nous regarderons le rapport g comme étant le « nombre » 
qui mesure la longueur A ; quidquid refertur ad unitatem ut linea 
recta ad aliarn rectaux, écrit en 1717 le professeur Christian Wolf, 
mimeras dicitur ('). 
Les nombres irrationnels se prêtent exactement aux mêmes opé 
rations que les nombres rationnels. 
98. Comparaison des rapports de grandeurs hétérogènes. 
— Il importe de remarquer que si, au lieu de rapports de longueurs, 
nous considérions des rapports d’angles, ou d’aires, ou de volumes, 
nous nous trouverions toujours définir les mêmes nombres. En effet 
on peut toujours comparer entre eux deux rapports de grandeurs 
hétérogènes de types différents) et décider si ces rapports sont 
égaux ou si l’un est plus petit cpic l’autre : un rapport d’angles, 
par exemple, sera dit égal à un rapport de longueurs s’il est le 
même nombre rationnel ou s’il a la même valeur approchée (voir 
le n° précédent) quelque loin que l’on pousse l’approximation ; si 
les deux rapports ne sont pas égaux celui dont la valeur ap 
prochée est la plus grande (lorsque l’approximation est poussée 
très loin) sera dit plus grand que l’autre, et ainsi de suite. Il est 
dès lors permis de dire que deux rapports égaux quelconques 
sont égaux à un meme nombre. 
99. Nombres proportionnels. — Revenons maintenant après 
un long détour, à la notion de mesure introduite au n° 61. Nous 
(') Elementa matheseos universæ, Halle 1717 t. I, p. 21, cf. Newton 
(Arithmetica universalis 1707) : Per numerum abstractam quantitatis 
cujusvis ad aliam ejusdem getieris quantitatem, quae pro unitate habetur, 
rationem intelligimus. 
Boutroux. — Les Principes de l’Analyse mathématique. 
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