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LES GRANDEURS 
notion générale du nombre se trouvait, en d autres ternies, déli 
vrée de toute entrave. 
Nous admettrons donc que les grandeurs ne sont pas des 
nombres. — Et si, pourtant, elles sont des nombres, et une 
révolution s’impose, inverse de celle qu’ont accomplie les Éléates; 
comme l’a fort bien vu Descartes, les progrès futurs des mathé 
matiques sont à ce prix. Mais il faut bien nous entendre sur le 
sens des mots; il faut tirer définitivement au clair la définition 
du nombre irrationnel et lui ôter le voile d infinitude ( 1 ) qui 
l’obscurcissait aux yeux des Grecs. Nous ferons intervenir dans ce 
but une notion fondamentale, dont nous nous sommes déjà occupés 
incidemment lorsque nous avons parlé d'approximation arbitrai 
rement (jrande en arithmétique (n° 4.7) et d’exhausiion en 
géométrie ; la notion de limite. Nous allons préciser le sens de 
cette notion et en donner, sans aucune préoccupation historique 
désormais, une double interprétation, arithmétique et géométrique. 
6. — Définition rigoureuse des nombres irrationnels 
109. Suite de nombres rationnels convergeant vers une 
limite rationnelle. —- Considérons l’ensemble des nombres ra 
tionnels qui sont voisins d’un nombre donné c (positif, négatif ou 
nul) et qui sont, soit tous inférieurs, soit tous supérieurs, à ce 
nombre. Il y a dans chacune des deux classes de nombres ainsi 
déterminées, une infinité de nombres de plus en plus rapprochés 
de c. En effet, nous savons que l’on peut former des fractions 
arbitrairement petites (aussi petites que l’on veut), par exemple 
la fraction où m est un nombre entier arbitrairement grand : 
ajoutant ces (raclions à c ou les en retranchant, nous formons des 
nombres rationnels arbitrairement rapprochés de c au sens du 
n° 46). 
Envisageons, en particulier, une série indéfinie de nombres, 
f 1 ) Michel Stifel, Arithmetica integra, Nüremberg, i544, lib. II, p. io3 
« inationalis numerus non sst rerus numerus, et latet suh quadam infini— 
tatis nebula ».