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LES GRA.XDEÜHS 
a { , a n , ... aille toujours, sans exception, en croissant, ou la 
suite des nombres bi, ..., b n , ... toujours en décroissant, Nous 
affirmons seulement — en ce qui concerne les a, par exemple — 
que, quel que soit un nombre a moindre que c, a n est sûrement 
supérieur à a à partir d’une certaine valeur de n et ne redescend 
plus au-dessous de la valeur c/. quelque grand que devienne n. 
On remarquera aussi que nous pouvons facilement étendre notre 
définition de la limite au cas d’une suite de nombres qui sont 
tantôt plus petits, tantôt plus grands que c. Si In différence des 
nombres c et a n (différence qui est c — a n ou a n — c suivant que 
c >> a n ou c < a n ) tend vers la limite o pour n augmentant indéfi 
niment, nous dirons que la suite a it ..., a n a pour limite c. 
111. Progressions géométriques infinies. — Nous allons 
appliquer les définitions qui précèdent à un exemple remarquable. 
Considérons la somme des n premiers termes de progression géo 
métrique de raison r qui commence par l’unité, c’est-à-dire la 
somme : 
s„'= i H- r -1- ... + r" -1 
et supposons la raison r inférieure à i. D’après les n os 21 et 38 
(voir p. 4b, note i) nous avons 
Considérons alors la suite indéfinie des nombres Si. s>,..., s n , ... 
où n prend toutes les valeurs entières. Cette suite est croissante, 
puisque chacun des nombres se déduit du précédent en ajoutant 
un nouveau terme de la progression géométrique ; d’ailleurs les 
nombres s if s 2 , ... sont tous inférieurs à — 1 
i — r 
Je dis que ma suite de nombres couverqe vers la limite — 1 — En 
J i — r 
effet on a 
Mais, lorque n ~g> N, r n est inferieur à r N (puisque r est inférieur 
a i), et la puissance r* est un nombre aussi petit que I on veut 
pourvu que N soit assez grand (n° 40]. Donc — est bien,