DÉFINITION RIGOUREUSE DES NOMBRES IRRATIONNELS l3l 
propriété suivante : quelque petite que soit une longueur donnée 
de mesure (rationnelle) s, je suppose qu’on puisse trouver un 
nombre entier N tel que la distance A„C soit plus petite que cette 
longueur pour toutes les valeurs de 1 indice n supérieures à N. 
S’il en est ainsi nous dirons que les points k u A>, ... A n tendent 
■ou convergent vers le point limite G lorsque l'indice n augmente 
indéfiniment. 
Celte définition est également valable que les points Aj. ...,A n ,... 
soient à gauche du point G (comme sur la figure GG dont nous 
pouvons nous resservir ici), ou qu’ils soient à droite de G (comme 
les points Bi, ... B,„ ... de la figure 66) ou qu’ils soient tantôt à 
gauche tantôt à droite. Il est donc inutile de spécifier quel est 
celui de ces cas que nous considérons. 
Lorsque les points Ai, ..., A n , ... convergent vers G, nous 
dirons que la suite (*) des longueurs O Ai, ..., OA, ( , ... est conver 
gente (;) et admet pour limite la longueur OG. Et nous dirons 
aussi que la suite des nombres rationnels a,, ..., a n ... qui sont 
les mesures de OAi, ... OA n , ... est une « suite convergente » ( 3 ). 
114. — Ainsi donc, à toute suite convergente de longueurs 
exactement mesurables correspond une suite convergente de nom 
bres rationnels. La suite des longueurs, par hypothèse, admet 
toujours une limite qui est une longueur OC ; la suite des nombres 
admet, elle aussi, une limite (mesure de OC) dans le cas où OG est 
exactement mesurable. Il est donc indiqué d’adopter la convention 
de langage suivante : Chaque fois que nous aurons une suite 
convergente de nombres rationnels (au sens du n° 113), nous 
dirons que cette suite admet une limite, qui est la mesure de OC, 
et à cette limite nous donnerons le nom de « nombre » ; si OC n’est 
(') Le mot suite indique que les longueurs sont considérées successive 
ment, et non, bien entendu, qu’elles sont juxtaposées. 
(*) Si, au contraire, les points Ai, ... A*, ... ne tendaient pas vers un 
point déterminé, nous dirions que la suite est divergente. 
(■ ! ) Si les longueurs OAj, ... OAn, ... sont toutes inférieures à OC, et de 
plus en plus grandes, la suite convergente est dite croissante. Si elles 
étaient toutes supérieures à OC et de plus en plus petites, la suite serait 
décroissante. — Si les longueurs OA I; ... OAn, ... ne tendent pas vers 
une longueur déterminée, la suite a-., ... a«, ... est dite « divergente ».