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LES GRANDEURS 
p&s mesuré par un nombre rationnel nous citions que la limite est 
un nombre irrationnel. 
115. — Cette définition du nombre irrationnel est toute conven 
tionnelle mais elle est parfaitement légitime. De même qu’un 
nombre fractionnaire n est pas defini directement, mais bien indi 
rectement par un couple de nombres entiers (numérateur et déno 
minateur), de même un nombre irrationnel sera défini indirecte 
ment par une suite convergente (indéfiniment prolongeable) de 
nombres rationnels. 
Deux nombres irrationnels seront, par définition, déclarés égaux 
ou inégaux, suivant qu’ils sont mesures de longueurs égales ou de 
longueurs différentes. Ainsi, deux suites convergentes a if ... a n , ... 
et 61, ..., b n , ... définiront le même nombre si les extrémités 
Ai, ..., An, ••• et Bi, ..., Bn, ... des abscisses correspondantes 
tendent vers un même point-limite. Considérons d’ailleurs, en ce 
cas, (en supposant, pour fixer les idées, les nombres b supérieurs 
aux nombres a) la suite des nombres rationnels 
— ft t ). (P2 .)) •••> (ê?i n fi ), ... 
qui mesurent les longueurs AiBj, ..., A„B„, ... arbitrairement 
petites pour n arbitrairement grand ; cette suite est convergente 
et admet pour limite zéro. Réciproquement, si la suite des dif 
férences (bi — ad), ... (b n — a n ), ... admet la limite o, les deux 
suites ai, ...» a n , ... et êi, ..., b„, ... définissent le même nombre. 
Ainsi, nous sommes en état de définir l’égalité ( r ) de deux 
nombres irrationnels sans faire intervenir à nouveau la notion de 
longueur géométrique. 
Il résulte des remarques qui précèdent qu’une suite conver 
gente de nombres rationnels définit un nombre ('rationnel ou 
irrationnel) et un seul, tandis qu’un nombre quelconque peut être 
considéré comme limite de plusieurs ( 2 ) suites différentes de 
nombres rationnels. En revanche, il ne correspond à un nombre 
(!) Nous dirons indifféremment, sans faire de distinction entre ces deux 
locutions, qu un nombre est égal à un autre nombre ou qu’il est le même 
nombre. 
i' 1 ) On peut construire autant de suites convergentes que l’on voudra 
qui aient pour limites le même nombre.