DÉFINITION RIGOUREUSE DES NOMBRES IRRATIONNELS 
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quelconque qu une seule abscisse OC et réciproquement [lorsque 
l’on a choisi, une fois pour toutes, un axe et une direction des 
abscisses, une origine et l’unité de longueur (n° 95)]. Il y a coïn 
cidence exacte entre la notion de nombre et celle d’abscisse. 
116. Opérations effectuées sur les nombres irrationnels. 
— Pour avoir le droit de considérer les nombres irrationnels 
comme formant avec les nombres rationnels une classe unique de 
nombres, il faut que nous ayons défini l’addition, la soustraction, 
la multiplication, la division, l’élévation aux puissances des 
nombres irrationnels, et il faut que nos définitions satisfassent à 
la condition suivante [cf. les remarques faites au n° 31 à propos 
des fractions | : toutes les fois que les nombres sur lesquels nous 
opérons se trouvent être rationnels, les opérations défîmes doivent 
être identiques aux opérations de l'arithmétique élémentaire qui 
portent le même nom. 
Or cette condition sera remplie si nous définissons les opéra 
tions fondamentales relatives aux nombres irrationnels comme 
opérations correspondantes de celles que nous savons effectuer sur 
les longueurs ( J ). 
La somme ou la différence, le produit ou le quotient de deux 
nombres quelconques c etc' sera le nombre qui mesure la somme, 
la différence, le produit, ou le quotient des abscisses mesurées par 
c et c'. La naissance ni ème ou la racine m ème d’un nombre c (pour 
m entier) sera le nombre qui mesure la puissance m ème ou la racine 
W' me de l’abscisse mesurée par c. 
Il importe d’observer que F extraction d’une racine d’ordre p est, 
■dans la théorie des nombres irrationnels, une opération toujours 
possible. En effet, nous avons vu (48) que l’on peut calculer des 
valeurs (rationnelles) de plus en plus approchées (arbitrairement 
a/iprochées) de la racine p kme d’un nombre rationnel quelconque. On 
démontre facilement que les longueurs mesurées par ces valeurs 
approchées convergent vers une longueur-limite dont la mesure 
•sera la racine p 6me en question. 
Après avoir défini les opérations fondamentales, on pourra 
(') Les produits et quotients étant définis comme longueurs ou abcisscs 
ainsi qu’il a été dit au n° g 5.