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étendre au domaine des nombres irrationnels toutes les régies de 
calcul relatives aux proportions ou aux progressions arithmétiques 
et géométriques (comparer n° 38). 
C’est là un fait que le lecteur établira aisément lui-même. 
117. Définition arithmétique des nombres irrationnels. 
Pour définir les suites convergentes de nombres rationnels, 
nous avons eu recours à la notion d’abscisse. Cet appel à la géo 
métrie n’est point indispensable. 
On peut donner, en elfet, des suites convergentes croissantes ou 
décroissantes nne définition purement arithmétique. Une suite de 
nombres rationnels croissants qui restent tous inférieurs à un meme 
nombre fixe sera dite convergente ; (te même une suite de nombres 
décroissants qui restent tous supérieurs à un même nombre fixe. Gela 
posé, on dira qu’une suite convergente de nombres croissants 
«j,... a n ,... et une suite de nombres décroissants 6p... 6 n ,... défi 
nissent un nombre si la différence b n — a n est arbitrairement petite 
pour n arbitrairement grand (*). 
Cette définition est d’accord avec les propriétés des nombres 
rationnels qui ont été établies en arithmétique. En effet, si la suite 
a l ,... a,,,... [ou 6 p ... b n , ■■■] admet pour limite un nombre rationnel 
— c’est-à-dire s'il existe un nombre c tel que la différence c — a,¡ou 
b n — c devienne arbitrairement petite pour n arbitrairement grand 
— les hypothèses qne nous faisons sur les deux suites indiquent 
qu’elles admettent nécessairement la même limite ; donc il leur 
correspond un nombre c et un seul qne nous dirons être défini pal 
ees deux suites. 
S il n’existe, par contre, aucun nombre rationnel qui soit limite 
des deux suites, nous dirons que ces suites ont pour limite un 
nombre irrationnel. 
Partant de là, nous pouvons définir a priori (cf. 116) les di 
verses opérations relatives aux nombres irrationnels et démontrer 
que ces operations coïncident bien avec les opérations arithmé 
tiques de meme nom dans le cas particulier où les limites des 
suites considérées sont des nombres rationnels. 
( ! ) fi est-à dire, si quelque petit que soit un nombre donné s, on peut 
trouver un entier N tel que lu — eu < î pour n > N.