136 
LES GRANDEURS 
Soit donnée une suite quelconque indéfinie de nombres rationnels 
ou irrationnels : 
c’est-à-dire soit défini un procédé permettant de déduire chaque 
nouveau nombre de la suite de ceux qui le précèdent. S’il existe 
un nombre c tel que la différence de c et du n eme nombre de la 
suite, devienne arbitrairement petite pour n arbitrairement grand, 
nous dirons que la suite est convergente et admet pour limite le 
nombre c; nous entendons par cet énoncé (cf. 110) que, quelque 
petit que soit un nombre donne, quelconque s, on peut toujours 
trouver un nombre entier N tel que pour n i> N, la différence de 
c et a n soit inférieure à s. 
122. Séries convergentes. — Considérons, en particulier 
une suite convergente de quantités de plus en plus petites 
iii, u 2 , ... u n , ... ayant pour limite o. Posons : 
«1 = «1, S 2 = U i + «2, «3= «i + «. 2 + »:),••• s„= «i -h « 2 -h ... H- « n . 
Les nombres croissants si, s. 2 , s n ,... forment à leur tour une suite', 
si cette suite est convergente elle définit un nombre rationnel ou 
irrationnel c : on dit alors que le nombre c est la somme de la série 
convergente u l -f- u 2 h- -+- ... et l’on écrit f 1 ) : 
c UI U.2 H- ... —|- u n —f- ..., 
les nombres ¿q. u 2 ,... u n étant appelés termes de la série. 
Plus on considère de termes dans la somme écrite ci-dessus, 
plus la valeur de cette somme est approchée de la valeur c. La 
somme u n + { -f- u n +2 -h ... diffé rence entre la somme de la série 
c et la somme s n de ses n premiers termes tend donc vers la limite o 
lorsque I on donne à n des valeurs arbitrairement grandes. 
Supposons, en particulier, quettj, ^2> u n ,... soient respectivement 
des fractions de dénominateurs i, io, io 2 ,... io n ; ... Alors la 
somme des n premiers termes de la série est de la forme : 
«i 
-h 
a 2 
io 
a 3 
io 2 
H- ... — 
a n 
io"“ 1 ’ 
( J ) Comme d’habitude, les points.., tiennent ici place des termes non- 
écrits.