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EXPRESSIONS ARITHMÉTIQUES CONVERGENTES. SÉRIES l3g 
dans cette expression le nombre des radicaux peut être indéfini- 
mcnt multiplié; l’expression est convergente et a pour limite ~ 
Wallis { l ) et lord Brouncker, d’autre part, formèrent — toujours 
pour définir le nombre — les expressions convergentes sui 
vantes ; 
3 . 3 . 5 . 5 . 7 . 7 . 9 . 9 . n . ii . 
2.4. 4. b. 6.8. 8.8. 10. 10. 
et 
1 -f- i 
2 H- 49 
2 + 81 
composée d’une cascade indéfinie de fractions est appelée fraction 
continue (fractio continua fracta). Des expressions convergentes 
de même forme avaient déjà été étudiées au xvi e siècle par l’algé- 
briste Bombelli ( 3 ) de Bologne. 
124. Expressions convergentes où figure un nombre qui 
augmente indéfiniment. — Il existe des expressions arithmé 
tiques convergentes qui se présentent sous une forme autre que 
celle dont nous venons de parler. 
Considérons une combinaison d’opérations effectuées sur le 
nombre entier ou rationnel n et supposons que ce nombre prenne 
des valeurs arbitraires de plus en plus prandes : si la suite des 
nombres fournis par la combinaison considérée (pour les valeurs 
successives de n) converge vers une limite c, la combinaison est 
une u expression arithmétique convergente » dont la limite est c. 
f 1 ) Voir Wali.is, Arithmetica infinitorum, i655, Opera I, p. 469-73. 
( 2 ) La loi suivant laquelle cette expression est formée est manifeste : 
les nombres 1, 9, 25, 4p, Si,... sont en effet les carrés des nombres impairs 
successifs 1, 3, 5, 7, 9, etc. 
( 3 ) L ’Algebra, 1679, P- 35-37 (Bibl. N. Y. 6922).