l’édifice géométrique et la DÉMONSTRATION y29 
verbale et sans valeur ; en effet le problème « construire un triangle 
dont deux angles sont droits » n’a pas de solution, puisque la somme 
des trois angles du triangle ne peut être supérieure à deux droits. 
Dans l’étude des théorèmes également (propositions énonçant les 
propriétés dont jouissent les figures géométriques), les problèmes 
jouent souvent un rôle capital. Supposons, par exemple, que nous 
énoncions le théorème suivant : Tout angle inscrit dans un demi- 
cercle ( J ) est un angle droit ; cet énoncé ne sera satisfaisant que si, 
d’une part, il est exact en toutes circonstances et si d'autre part, il ne 
contient aucune restriction superflue ( 2 ), c’est-à-dire si la condition 
imposée à l’angle (d'être inscrit dans un demi-cercle) est bien une 
condition nécessaire de sa rectitude. Or, pour s’assurer qu’il en 
est bien ainsi, le procédé le plus sûr sera de résoudre le problème 
suivant : inscrire dans un cercle de rayon donné quelconque un 
angle de grandeur donnée', on constatera alors que l’arc compris 
entre les côtés de l’angle inscrit est inférieur, supérieur, ou égal 
à un demi-cercle suivant que cet angle est lui-même inférieur, 
supérieur ou égal à un angle droit (cf. 187) ; et l’on conclura de 
là que le théorème donné plus haut est correctement énoncé. 
225. Traitement d’un problème. — Ainsi l’étude complète 
d’une question de géométrie sera ramenée en général à l’étude 
d’un problème : étant données certaines figures, construire une 
nouvelle figure remplissant telles ou telles conditions déterminées. 
C’est ce que nous voyons nettement dans les Eléments d’Euclide 
(voir supra, p. i83, note 2 et infra, n° 228). 
Le traitement d’un problème comprend huit phases ou parties : 
i° La protase (-oô-acp.c) ou énoncé ; 
2 0 L'ecthése (sx6s<tk;) ou répétition de l’énoncé rapporté cette fois 
au tracé d’un schéma dont les différentes parties (points, droites, etc.) 
sont en général désignées par des lettres ; 
3° L'apagoge (àTrayioyr'), qui transforme le problème proposé en 
un autre problème plus simple : elle suppose, pour cela, le pro- (*) 
(*) c’est-à-dire comprenant entre ses côtés une demi-circonférence. 
( 2 ) Je me garderai par exemple d’énoncer comme un théorème la pro 
position suivante : La somme des angles d’un triangle rectangle est égale 
à deux angles droits. En effet l’égalité énoncée a lieu lors même que le 
triangle n’est pas rectangle.