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LES FIGURES
appelé raisonnement analytique ou raisonnement synthétique. Le
raisonnement analytique part du résultat à démontrer (c’est-à-dire
suppose le problème résolu) ; le raisonnement synthétique (qui est
la démonstration sous sa forme normale) part, au contraire, des
données, pour aboutir au résultat requis.
Ainsi, parmi les huit parties dont se compose un rai
sonnement complet, toutes ne sont pas toujours explicitement
formulées. La marche du raisonnement varie suivant la nature des
problèmes et des théorèmes (la démonstration d’un théorème com
prenant d’ordinaire moins de parties que la solution d’un problème).
D’ailleurs l’apagoge et la construction se présentent, suivant les
cas, sous des aspects très divers. D’où un grand nombre de types
de déductions que le logicien s’applique à définir. C’est ainsi que
Yiète distingue entre l’analyse zététique qui fournit la solution
d’un problème et Y analyse poristique qui fournit, non pas la solu
tion, mais la démonstration d’une solution. Il y a lieu également
de distinguer entrel’analyse directe et l’analyse indirecte telle qu’elle
est pratiquée dans la démonstration par l’absurde : au lieu de sup
poser le problème résolu, imaginons au contraire que les conditions
requises par l’énoncé ne soient pas remplies ; si nous déduisons de
cette hypothèse (par une apagoge) des conséquences absurdes (con
tradictoires entre elles), nous en concluons que l’hypothèse est
illégitime et que, par conséquent, les conditions requises sont
sûrement remplies.
Mais nous ne pouvons prétendre approfondir ici l’étude logique
de la démonstration. 11 importe davantage de nous demander
comment, par le moyen des démonstrations, nous pourrons dresser
l’édifice de la géométrie rationnelle.
228. Les éléments. — « Le terme d’éléments (jtor/iTa), dit
Paul Tannery d après Produis, s’applique proprement à ces
théorèmes qui, dans toute la géométrie, sont primordiaux et prin
cipes de conséquences, qui s’appliquent partout, et fournissent les
démonstrations de relations en grand nombre ; on peut comparer
leur rôle à celui des lettres (également appelées utor/yTa) dans le
langage ».
De nombreux Eléments ont été composés en Grèce (ceux
d Hippocrate de Cbios, aujourd’hui perdus, furent célèbres) :
