l’édifice géométrique et la démonstration
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cependant nous n’en connaissons point de plus anciens que ceux
de l’Alexandrin Euclide.
Les Eléments d’Euclide jouent en même temps le rôle de
fin et le rôle de moyen : fin, puisqu’ils sont destinés à faire con
naître les théorèmes essentiels de la géométrie ; moyen, puisque
les solutions toutes préparées qu’ils nous offrent sont les instru
ments dont on a besoin pour effectuer l’apagoge (ou l’ànoSs^iç) des
problèmes nouveaux. Euclide adjoignit d’ailleurs aux Eléments un
second ouvrage, les Data, qui a pour objet direct de fournir des
instruments à l’analyse et à la synthèse : « les propositions, dit
Zeuthen (*), y ont pour but de prouver que, certaines quantités ou
portions d’une figure étant données, certaines autres le sont aussi,
c’est-à-dire qu’elles se déterminent à l'aide des premières ».
229. — Comment sont composés les Eléments ? Partant de défi
nitions et d’hypothèses, le géomètre en déduit progressivement,
conformément aux règles de la logique, une série de propositions
rigoureusement enchaînées les unes aux autres.
Les définitions (opot) déterminent les concepts qui sont à la base-
de la science.
Les hypothèses sont ( 2 ), soit des postulats ou demandes (a’x^fjia'ua),
soit des notions communes ou axiomes (xotvai l'wotat, à?iw[j.rra);,
les postulats affirment (sans démonstration) que certaines cons
tructions ( à ) premières sont possibles ; les axiomes, que certaines
propriétés essentielles appartiennent aux grandeurs ou aux figures
les plus simples.
Il est clair — puisqu’aussi bien l’ordre logique n’est qu’un ordre
introduit après coup (n° 166) pour exposer des vérités simultanées
— que le choix des définitions, postulats et axiomes reste à notre
discrétion. Entre plusieurs constructions ou propositions qui s’im
pliquent mutuellement, nous avons le droit de choisir celles que
nous prendrons comme point de départ et renoncerons à démontrer,
et celles qu’au contraire nous considérerons comme déduites. C’est
(’) Zeuthen, Hist. des math. d. l’antiq., tract. J. Mascart, pp. 87-88.
( 2 ) La distinction que les Grecs établissaient entre les postulats et les
axiomes n’a pas été maintenue par les modernes. Sur les postulats, voir
infra, Deux, lia., ch. v.
( 3 ) Voir infra § 5.
