LA CONSTRUCTION EN GÉOMÉTRIE RATIONNELLE 287 
tive avant même d’être démontrées, comme le soutenaient les 
Platoniciens, on n’existent-elles au contraire qu’en vertu des 
déductions et des constructions des géomètres? La question, ainsi 
posée, ne pouvait guère diviser sérieusement les penseurs de la 
Grèce, car il n’est pas douteux que les géomètres anciens n’aient 
tous vu dans les notions mathématiques des entités objectives. 
Mais l’art du logicien consiste précisément à feindre d’ignorer ce 
que fort bien il sait, afin de le retrouver par de subtiles et rigou 
reuses déductions. C’est ainsi que dans un système de géométrie 
digne de ce nom, aucune figure ne doit être introduite sans que 
son existence ait été constatée logiquement — je veux dire sans 
qu’il ait été reconnu qu’aucune contradiction n’est possible entre 
sa définition et les autres définitions et postulats préalablement 
posés. Or le moyen le plus simple de vérifier ce fait consiste à 
construire effectivement la figure, ou plutôt à définir un procédé 
théorique qui permettrait de la construire si l'on savait parfaite 
ment dessiner. 
Le problème logique que nous venons de formuler se pose, 
remarquons le bien, au sujet des figures géométriques les plus 
simples. Ainsi au début du 1 er livre des Eléments, Euclide affirme (') 
qu’il est possible de mener une ligne droite entre deux points, qu’il 
est possible de décrire un cercle de centre donné et de rayon 
donné. La possibilité de ces constructions résnlte-t-elle 
logiquement des définitions de la droite et du cercle? Ou, tout au 
moins, peut-on prouver qu’elle n’est pas contradictoire à ces 
définitions? Euclide ne soulève pas cette question, qui n’a été 
approfondie que par les logiciens modernes. Admettons donc 
— puisqu’aussi bien nous pouvons en cela nous fier à notre intui 
tion — que nous sachions, en toutes circonstances, tracer une 
droite indéfinie dont nous connaissons deux points, et une circon 
férence dont nous connaissons le centre et un point A (ou, 
si l’on veut, le centre et le rayon). Cela revient à dire, pour 
parler un langage matériel, que nous savons en tous cas faire 
usage de la réglé et du compas. Pourrons-nous, cela admis, établir, 
par voie de démonstration logique, l’existence des diverses figures 
qu’étudient les géomètres? 
( l ) Postulats («’.xrijjiata) i, 2, 3.