LIEUX GÉOMÉTRIQUES. ÉTUDE DES COURBES 2 4 7
s’occuper de ces courbes. C’est à titre de lieux géométriques, en
tout cas, qu’elles interviennent le plus souvent dans la géométrie
grecque.
Un contemporain d’Euclide, l’athénien Aristée ( 1 ), avait com
posé sur les lieux solides un traité, malheureusement perdu, qui
semble avoir exercé une grande influence. Archimède et Apollonius
allèrent plus loin dans la même voie. Ainsi fut constituée une
théorie générale des sections coniques qui occupa rapidement une
place d’honneur dans l’édifice de la géométrie. Parvenue déjà à
un haut degré de perfection dans l’antiquité, elle devait devenir,
avec les découvertes de Kepler sur le mouvement des astres, la base
de l’astronomie et de la mécanique céleste ; et c’est aussi par l’étude
des coniques que s’essava et s'affirma au xvn e siècle la nouvelle
méthode de géométrie instituée par Fermât et Descartes.
Sans chercher à reproduire les démonstrations difficiles des
géomètres grecs, signalons quelques propriétés fondamentales
des coniques qui étaient connues d’eux et que nous retrouverons et
établirons plus loin par la géométrie algébrique.
244. Foyers de l’ellipse. — Voici tout d’abord une propriété
de l’ellipse qui sert souvent aujourd’hui à définir cette courbe ( 2 ) :
A l’intérieur de l’ellipse (c’est-à-dire d’une ellipse quelconque) il y
a deux points appelés foyers ( 3 ), jouissant de cette propriété que la
somme de leurs distances à un point quelconque de la courbe est
constante ( 4 ) (c’est-à-dire égale pour tous les points de la courbe).
Appelons F, F les foyers et A, A' les points où la droite FF' pro
longée rencontre l’ellipse ; le segment AA' est dit grand axe de
l’ellipse; on a, par hypothèse :
AF + AF' = A'F + A'F'
l 1 ) Il publia, à la fin du iv e siècle, cinq livres sur les lieux solides. Les
Kwvf/.à d’EucLiDE — qui ne paraissent pas avoir apporté beaucoup de
connaissances nouvelles,— sont également perdues.—-Archimède n’écri
vit pas de traité d’ensemble sur les sections coniques, mais ses ouvrages
montrent qu’il en avait fait une étude approfondie.
{*') Depuis De La Hire, Nouveaux élémens des sections coniques, Paris,
1679, p. 36.
(*) Le mot foyer est emprunté à la théorie de la réflexion et des mi
roirs courbes.
( 4 ) Apollonius, Komxdé, liv. III, prop. 52.
