LE CALCUL COMBINATOIRE 
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259. — Supposons donc qu’il ait été déjà démontré que le 
nombre des permutations de m — i lettres est x x 2 ... X (m — 1) 
et désignons, pour abréger, ce nombre par P„, 4 . Nous avons à 
établir que le nombre — soit P m — des permutations de m lettres 
est égal à m. P, n _i. 
Or on obtiendra évidemment toutes les permutations des 
lettres ai, ..., a m en procédant de la manière suivante : 
Plaçons la lettre a y en tête, et à la suite les (m — 1) lettres 
a>, ..., a m -1, a m dans tous les ordres possibles. Nous obtiendrons 
ainsi autant de permutations (de nos m lettres) qu’il y a de ma 
nières de disposer les m — 1 lettres a>, a m , c’esl-à-dire P,,,.^. 
Ce sont là toutes les permutations des m lettres données où a, occupe 
la première place. 
Considérons encore toutes les permutations des m — 1 lettres 
a 2 , ..., a m , et dans chacune intercalons u, à la seconde place (après 
la première lettre à gauche). Nous obtenons ainsi P m -i nouvelles 
permutations des m lettres : ce sont toutes les permutations où a, 
occupe la seconde place. 
Nous aurons de même P m -i permutations des m lettres, où ai 
occupe la troisième place, et ainsi de suite; finalement P m „ a per 
mutations où ai occupe la m ième (dernière place). 
Les diverses permutations ainsi obtenues sont au nombre de 
m fois P„i_i : elles constituent la totalité des permutations des 
m lettres. Donc 
(1) foi — 01.1 —j, 
comme nous l’avions annoncé. Cette formule est valable pour toutes 
les valeurs de l’entier m. 
Mais une lettre n’a évidemment qu'une permutation, donc 
Pi = 1, La formule (1) nous donne alors 
P2 = 2 . P 1} d’où P2 = 2 
P 3 = 3 . P 2 , d’où P 3 = 2.3 
et ainsi de suite ; finalement : 
P m = 1 . 2 ... (m — 1). m. 
260. Remarque. — Le produit 1.2 ... m (produit des m pre