SYMBOLES ET EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
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certaines puissances entières m, n. Nous conviendrons de dire
(suivant une locution un peu incorrecte, mais commode) que ce
produit est une paissance de x et y ; l'ensemble des facteurs du
produit qui ne contient pas x et y sera appelé coefficient de la
puissance de x et y; ainsi, si l’on désigne par une lettre A le coef
ficient, la puissance de x et y sera de la forme kx m y".
Deux puissances de x et y ayant des coefficients différents, mais
affectées des mêmes exposants //2, n seront appelées paissances sem
blables de x et y.
Cela posé, nous appellerons polynôme en x et y toute somme de
puissances de x et y affectées de coefficients. Réunissant en un
terme (par addition et mise en facteur commun des expressions
telles que x m y") tout groupe de puissances semblables qui figurent
dans la somme, nous pouvons toujours mettre le polynôme sous
la forme
(...) H- (...)x H- (...)y -+■ (...)cc 2 -h (...).Ty -+-(,..)y 2 H- termes analogues
où les parenthèses renferment des expressions algébriques arbi
traires ne contenant pas x et y. Les expressions entre parenthèses
sont les coefficients du polynôme; les termes de la somme puis
sances de x et y] sont les termes du polynôme et ont respec
tivement pour degrés la somme de leur degré en x et de leur
degré en y [vide n° 284] ; le degré du polynôme est le plus élevé
des degrés de ces termes. Ces définitions s’étendent immédiate
ment à un polynôme en x, y, z,.. ou, plus généralement, à un
polynôme portant sur un nombre quelconque de lettres ou
quantités.
292. — Un polynôme du premier degré [par rapport à as et y
ou à un nombre quelconque de quantités] est dit linéaire. Exemple .
3 x — y -+- i, ax H- by -h cz -f- d.
Un polynôme de degré quelconque n dont tous les termes sont
du même degré n est dit homogène. Exemples :
3æ 2 -f- 2 xy — 2 y 2 , ai 2 -f- 6y 2 H- cz 2 H- dxy -+- eyz -+-Jzst,
polynômes homogènes du second degré ;
4 ce 3 -f- x 2 y -h .rz 2 ,
polynôme homogène du troisième degré.