TRANSFORMATIONS CLASSIQUES
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lorsqu’on y remplace les lettres a et h par des monômes quel
conques.
Or en effectuant les multiplications
(a 4- b) (a -l- b), (a — b) (« — b), etc.,
nous parvenons aisément aux identités (') suivantes, dont les se
conds membres sont les « développements » (voir 285) de a-h b] 2 ,
(a — b) 2 , etc. :
(I) (a + 6)2 = (a 6) (a + b) = a 2 4- 2 ab + b 2
(II) (a — b) 2 = (a — b) {a - b) = « 2 — a ab 4- b 2
(III) (a 4- ù) 3 — (a 4- fe) 2 (a 4- 6; =; a 3 4- 3n 2 è 4- 3ab 2 4- 6 3
(IV) (a — à) 3 = a 3 — 3a 2 b 4- 3 ab 2 — fe 3
(V) (a 4- 6)* = a 1 4- 4« 3 6 4- 6a 2 6 2 4- 4a6 3 4- b 1
On peut continuer ainsi indéfiniment. Mais n’y aurait-il pas
moyen d’écrire une identité symbolique qui donnât la formule de
la puissance (a 4- b) m quel que soit l'entier m? La formule deman
dée sera facile à obtenir si l’on utilise les symboles de l’arithmé
tique combinatoire que nous avons fait connaître à la fin de notre
Premier Livre. D’ailleurs les coefficients numériques qui figurent
dans le développement de (a 4- b)’ n ne sont autres que les nombres
situés sur une même ligne diagonale (ou base) du triangle arithmé
tique de Pascal (n° 19) ; c’est là un fait remarquable qui était déjà
connu au xv e siècle [cf. en particulier, Slifel, Arithmetica in
tegra, 1543, p. 46] et que Pascal a définitivement élucidé.
297. — Pour former le développement de (a 4- b) m , nous allons
tout d’abord nous demander quel est le développement du produit
P = [a, 4- bj 1 (ci 4- b2) ••• (a 4— b,,,),
où b 1, 6 2 , ... b,„ sont ni nombres différents.
Ce développement peut évidemment être obtenu par le procédé
suivant. Choisissons une lettre (a ou 61) dans le premier facteur,
puis une lettre (a ou b.,) dans le second facteur, et ainsi de suite
(') Les identités sont ordonnées par rapport aux puissances décrois
santes de a, par rapport aux puissances croissantes de b.