TRANSFORMATIONS CLASSIQUES 
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il est clair, en effet, que nous ne pouvons obtenir un terme con 
tenant a m qu’en prenant la lettre n dans chaque facteur du pro 
duit P, ce qui donne le terme unique 
298. — Ces préliminaires établis, supposons que nous don 
nions la même valeur b aux ni lettres 6,, b. 2 , ... b m . Alors le 
terme de degré o en a devient 6"', les termes de degré i sont tous 
égaux entre eux et égaux à b"‘~ l a; leur somme est mh m ~'a, puis 
qu’ils sont au nombre de in. Les termes de degré 2 sont tous égaux 
à a i b m ~ i ; leur somme est Cf (1 fc m-2 a 2 ; puisqu’ils sont au nombre de 
C,^.. Et ainsi de suite jusqu’au terme de degré ni qui est toujours 
unique et égal à a m . 
Eu conséquence, nous pouvons écrire l’identité (’) 
(VI) (a -H b) m = h m H- mb‘ n ~ i a -+- C 2 ,6' H—2 a 2 h- ... -+- C"'~ 2 6 2 a m_2 
-h inba m ~ l -f- a m , 
où le second membre est ordonné par rapport aux puissances crois 
santes de la lettre a et par rapport aux puissances décroissantes de 
la lettre b. Les valeurs des nombres G 2 ,, C( n , etc., sont données par 
la formule (4) du n° 264. 
Remarque. — 11 est clair que le raisonnement qui précède res 
terait valable si l’on échangeait les rôles que nous avions fait jouer 
aux lettres «et b. Ainsi l’identité (VI) peut être écrite sous la forme 
suivante : 
(VI bis) (a -h b) m — {b -+- o) m = a m H- ina m ~ l b + C%a m ~ 2 h- 
-f- ...-f-C)" -2 a 2 6 m—2 -h mab m ~' -j-6 m . 
¡Vous vovons immédiatement que celle égalité n’est autre que la 
précédente dans laquelle on a renversé l’ordre des termes du second 
( ) Le développement de (a + b)"‘ était connu des mathématiciens 
alexandrins (du moins pour les premières valeurs de m] ; mais la forme 
que nous lui donnons ici ne put, bien entendu, être obtenue qu’après 
la création du calcul combinatoire; nous la trouvons, on particulier, chez 
Pascal \ Usage du triangle arithmétique pour trouver la puissance des bi 
nômes et des apotomes, Œuvres, t. III, p. ^99). — La formule (VI) n’est 
d’ailleurs qu’un cas particulier de la formule générale établie par Newton 
(formule du binôme de Newton) qui donne le déve’oppcment de [a -f- b m 
pour m quelconque (non nécessairement entier).