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LE CALCUL ALGÉBRIQUE 
membre : en effet nous savons (n° 264, Remarque) que l’on a : 
299. — De l’identité (VI bis) nous déduirons immédiatement le 
développement de (a — b) m . Remplaçons, en effet, b par b 1 dans 
celte identité : elle devient : 
-f- .. -f- mab' m ~ l -+- b' m ; 
b') m = a rn 4- ma m ~ l b' 
posons ensuite b' = — b, d’où résulte b' 2 = b 2 , b' 3 — — b 3 , 
b' r * = b'", b' r> = — b\ etc., nous obtenons : 
(VII) (a — b/ n = a m — ma 1 b -h Cj n a m 2 5 2 ..., etc. 
30D. Application de la formule du bincme au développe 
ment d’une puissance d’un polynôme. — La formule (VI bis) 
dite du binôme de Newton), qui donne la puissance m' ème d’un 
binôme, fournit le moyen de calculer les puissances entières d'un 
polynôme quelconque. 
Considérons par exemple le pol ynôme à trois termes a -t- b 4- c : 
nous écrirons en réunissant b et c 
[a -f- b 4- c] m = [a -+- (b -h c)]"* = a m 4- ma" 1-2 (b -h c) 
m(m—i) , ,, .. 
H l a m 1 [b -h c) 2 -f- ... 4- (6 4- c) m . 
et nous développerons ensuite les puissances (h 4- c) 2 , ... (64- c) m 
d’après la formule (VI). 
Ainsi : 
[a -4 b 4- cy = a 1 -4- 4« 3 (6 4- c) 4- 6 a 2 (6 2 4- 2 hc 4- c 2 ) 
+- 4 a (6 3 4-36 2 c 4-3cb' 1 4- b 3 ) 4- (6’- 4- 4ù 3 c 4- 6 è 2 c 2 4- 4 5c 3 4- c 4 ) 
301. Divisions de a* + 1 — b n + l par a — b. — Les formules sui 
vantes sont, pour employer une locution chère à l’algébriste, des 
« formules élégantes ». Ce sont des formules à surprise. Si je 
/4 -4— h'* 
cherche, en effet, à transformer les quotients 
a -4 b 
n’obtiens que des fractions plus compliquées. Gomment se fait-il 
que la division de a" — b" 1 par a — b conduise au contraire à 
un polynôme d’une simplicité et d’une symétrie remarquables ?