TRANSFORMATIONS CLASSIQUES 
Soi 
Rien ne le faisait prévoir; le simple arrive ici sans être attendu, 
et nous trouvons élégante son apparition inopinée. 
Je dis d’abord que le quotient de à 2 — b 2 par a — b n’est autre 
que a + 6. Et, en elìci, le produit (a b) (a — b) se trouve égal 
à ci- — b' 1 . Nous écrirons donc l identité suivante, identité capitale 
en algèbre, et déjà bien connue des mathématiciens grecs qui 
la présentaient sous forme géométrique | vide j : 
a 2 — b 2 = (a — 
(Vili) 
b) (a H- b) 
De la même manière nous obtiendrons les identités (') : 
(IX) a 3 — 6 3 = (a — b) (a 2 -4- a b -+- 6 2 ) 
(\) a'*+ l — 6"+' = (a — b) (a n -h a’* ‘6 a ,l_2 6 2 -4- ... -h 6") 
Celle identité donne lieu à une application intéressante que nous 
avons déjà indiquée plus haut. Faisons en effet a — 1; l’égalité (X 
nous donne la somme des n premiers termes de la progression géo 
métrique de raison b qui commence par l’unité : 
1 + b -+- ... H- b 11 
<x bis ) 
Remarque. — En appelant b' le nombre — b et remplaçant par 
conséquent b par — b dans les formules (\ III) et suivantes, on 
obtiendra de nouvelles identités. Ainsi ; 
a 3 H- b' 3 — (1 
b') (a 2 — ab' -h b' 2 ), etc. 
(XI) 
a H- 
302. Autres identités. — En additionnant membre à membre 
les identités (I) et (Il du n° 295, on obtient l’identité 
(a -+- b) 2 -h (a — b) 2 — ‘2 (a 2 -h 6 2 ). 
(XH) 
(*) On trouve ces identités dans la Praclica Arithmeticæ ( 153g) de 
Jérome Cardan (chap. xxn, Opéra, t. IV, p. açp. L’identité (X bis j par 
exemple est énoncée comme il suit pour n = 3 : « Si igitur divideres 1. 
eu. m. 1. per 1. co m. 1. exibit 1. ce. p. k co. p. i ». Si lu divises le cube 
de l’inconnue (r. cubus) moins 1, par l’inconnue (1. cosa, voirn° 274) 
moins x, il viendra le carré de l’inconnue (1 census , plus l’inconnue (à la 
première puissance), plus 1. L’égalilé IX; intervient déjà dans VArithmé 
tique de Diophante.