FONCTIONS ET ÉQUATIONS 30f) 
nomes en x. que nous avons définis au n° 290 : ce sont, dirons- 
nous, des fonctions entières ou polynomales ( ) ). 
Pour compléter la définition de ces fonctions, nous allons 
montrer qu’une fonction polynomale de x ne peut être mise que 
d’une seule manière sous la forme d’un polynôme ordonné comme 
il a été dit au n° 290. 
Considérons plus précisément deux polynômes de degré n en x, 
que nous écrirons 
a„x' 1 H- ... -h a { x -h a 0 , h n x' 1 -t- b\X -+-6 0 , 
les lettres «„,... a 0 , h n ,6 0 représentant les coefficients (lesquels 
peuvent être des expressions algébriques quelconques ne con 
tenant pas as). Nous allons établir que ces polvnomes ne peuvent 
être identiques, c’est-à-dire prendre tous deux la même valeur 
(variable) pour toute valeur (variable) donnée à x que si leurs 
coefficients correspondants (de même indice) ont la même valeur ( 2 ). 
312. — Envisageons d’abord deux polynômes du premier degré 
aix -+- a 0 et 6,as -h 6 0 . Pour qu’ils soient identiques, il faut qu’ils 
soient en particulier égaux lorsque as = o ; or, pour as — o, ils se 
réduisent à a 0 et 6 0 ; donc a 0 et 6 0 doivent avoir des valeurs égales. 
Retranchant maintenant celle valeur des deux polynômes supposés 
Identiques, nous voyons que les monômes a,as et /nas doivent être 
égaux quelque soit as ; ceci exige que a t = b t . 
Inversement, si leurs coefficients correspondants n’ont pas 
des valeurs égales, les deux polynômes (on le constate immédia 
tement) prennent des valeurs différentes pour une infinité de 
valeurs données à x ( 3 ). 
( 1 ) Si le polynôme est du premier degré, il est dit fonction linéaire 
(cf, 2()2É 
( s ) Y compris les coefficients de a; 0 , c’est-à-dire les termes indépendants 
de x [ voir n° 28‘J]. 
i' 3 ) Bien entendu, les valeurs des polynômes que l’on compare deux à 
deux sont toujours celles qui correspondent à une même valeur de x, 
La théorie des équations du premier degré permet (voir § G) d’affirmer, 
plus précisément, que deux polynômes du premier degré non-iden1 iques ne 
peuvent prendre la même valeur que pour une seule valeur de x, savoir 
b o — "n 
la racine de l’équation a\X -f- ao — h\X + h 0 £qui est x = 
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