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LE CALCUL ALGÉBIUQÜE
est équivalent aux systèmes
( F = 0
ou
j G = o
I aF -h 6G = o
^ «F h- 6G = o
où les lettres a, b représentent des quantités connues (indépen
dantes de x et y).
En effet, il est clair que si, pour un certain système de valeurs
de x et y, les fonctions F et G sont nu Iles, il en est de même de la
fonction aF bG. Réciproquement si F et aV -H b G sont nulles,
la fonction aF est aussi nulle et la différence 6G des fonctions
(aF -+- bG) et aF est nulle; donc G est nulle. Si G et aF bG sont
nulles, F est nulle pour la même raison.
Plus généralement, nous constatons que le système (3) est équi
valent au système (‘)
( a. F (x, y) b. G (x, y) = o
) a F (x. y) -f- h 1 . G (x,y) ----- o
où a, b, a', b' sont des quantités connues ( 2 ).
L’étude d’un système d’équations dépendant de 3, 4, etc., incon
nues nous conduirait à des conclusions analogues.
329. Élimination d’une ou plusieurs quantités entre
plusieurs équations siar-ultanées. — Considérons un système
de deux équations.
4) F (x, y, z, a,...) = o, G (x, y, z, ii,...) = o
dépendant de plusieurs quantités inconnues ou variables x, y,
z, a,... |système en général indéterminé, si le nombre des incon
nues on variables est supérieur à 2], et appllqons à ce système la
méthode dite de substitution dont nous avons déjà donné un
(•) L’équation «F + bG =■ o est appelée combinaison linéaire des équa
tions F = o, G = o [le mot linéaire indique (voir n° 29a) que la combi
naison est un polynôme du premier degré par rapport à F et par rapport
à Gl.
(■) Ces quantités ne sont cependant pas absolument arbitraires : il faut
que la quantité ah' — bd ne soit pa • nulle ; on constate en effet que, si
ab — bd = o, les deux nouvelles équations sont équivalentes et se ré
duisent à une (n° 827).