RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS POLYNOMALES 
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Dans l’hypolhèse oùB 2 <4(^ ) , on a {hr 2 ) 2 < 4/6 ; d’où p on 
conclut (en extrayant les racines carrées et divisant par r 2 les 
deux membres de l’inégalité) : h < ar ; donc le nombre — est, 
2 r ’ 
dans le cas considéré, inférieur à i, et l’on peut toujours trouver 
une abscisse curvilique v dont le cosinus soit égal à — ; nous 
déterminerons cette abscisse curviligne au moyen d’une table tri- 
gonométrique et nous remplacerons h par l’expression a r cos v 
dans l’équation (io). Cela fait, je constate que l’équation (io) 
[équivalente à (7)] sera satisfaite si je donne à æ la valeur 
x = a r cos ^ ; j ’aurai en effet ; 
x 3 — 3r 3 X — 8r 3 cos 3 - 6r 3 COS ^ = 2r 3 
o o 
cos 
or hr 2 , égal à a r 3 cos v par hypothèse,se trouve égal à a r 1 {h cos 3 1 
— 3 cos d’après l’égalité (9) : j’en conclus que x 3 — 3/^cc 
est bien égal à hr' 2 comme le demande l’égalité (10). 
Tel est, traduit en notations modernes, le calcul effectué par Viète. 
Ce calcul nous montre, si nous nous référons à la trigonométrie 
moderne, que l’équation (io) possède trois racines. En effet (*), si un 
arc v a pour cosinus le nombre ~, les arcs v -+- akr. et — v + ikv: 
(où k est un nombre entier positif ou négatif quelconque) ont aussi 
le même cosinus et peuvent remplacer l’arc v dans notre raisonne 
ment. Nous en concluons que toutes les valeurs 
î/vt 
et 2r cos 
2/ir 
ou( 2 ) 
2T COS 
sont racines de l’équation (10). Ces valeurs se réduisent à trois : 
3’ 
2 r cos 
4". 
( l ) Cette discussion ne put, bien entendu, être faite que longtemps 
après Yiète, qui ne disposait pas de la notion générale d’abscisse curvi 
ligne affectée de signe ; elle fut donnée par Clairaut, Elemens d’algehre, 
Paris, 1746, Part. V, chap. vu, p. 2G8-9. 
( s ) On sait, en effet, que, quel que soit l’arc u, on a cos (—u) — cos u.