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LE CALCUL ALGÉBRIQUE 
en efl'et tout arc (où k est un nombre entier quelconque) 
, T , , t) U + 2X ü + 4TC . • , 
est égal a 1 un des arcs ^^— plus ou moins un mul 
tiple de 27T, et a par conséquent même cosinus que l’un de ces trois 
arcs (*) (cf. n° 159). 
345. L’équation (8). — En cherchant à ramener l’équation (8) 
à une équation de la forme (7), Tartaglia devait se heurter à des 
difficultés plus graves encore que celles dont nous avons parlé 
tout à l’heure; aussi est-il permis de douter qu’il ait effective 
ment accompli la transformation qu’il indique (voir n° 342). Pour 
mettre hors de doute l’existence des racines (positives ou néga 
tives) de l’équation (8) il faut employer d’autres méthodes que 
celles dont disposait Tartaglia ; on pourra, par exemple, suivre la 
voie indiquée par Viète et recourir à un calcul trigonométrique ; 
on constatera alors que, suivant les valeurs relatives des nombres 
(positifs) A et B, l’équation (8) a une ou trois racines. 
346. Recherchés de Cardan; notations modernes. — C’est 
en i535 que Tartaglia s’est occupé des équations du troisième 
degré. Cependant il se refusa à publier, ou même à communiquer, 
ses résultats; en i53g, seulement, cédant à l’insistance de Jérôme 
Cardan, il livra à ce savant les vers quelque peu énigmatiques 
que nous avons reproduits plus haut, tout en lui faisant jurer de 
ne jamais divulguer son secret. 
Sur les indications qui lui furent ainsi fournies, Cardan se mit 
au travail. Il montra comment toute équation du troisième degré 
peut être transformée en une équation de l’un des types (6), (7), 
(8) ; il approfondit l’étude de ces types avec son disciple Luigi 
Ferrari (i522-i565), et, en maniant sans scrupules — fort habi 
lement d’ailleurs — les quantités négatives et même imaginaires 
(racines carrées de nombres négatifs), il surmonta certaines diffi 
cultés dont certainement n’avait pas triomphé Tartaglia. En i545. 
(*) On peut remplacer le troisième par la valeur égale 2r cos 
e — 2 tc 
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