RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS POLVNOMALES 
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Ces deux égalités (puisque z est connu) sont par rapport à l’in 
connue x des équations du second degré que l'on sait résoudre ( 1 ). 
Nous laissons de côté la discussion à laquelle donnent lieu les 
calculs qui précèdent. Remarquons seulement que si les deux équa 
tions du second degré en x ont chacune deux racines, l’équation du 
quatrième degré se trouve avoir quatre racines. 
350. Equation de degré quelconque- — Les algébristes des 
xvi e et xvn e siècles ont pu résoudre, comme nous l’avons vu, 
l’équation du troisième degré ; ils ont résolu également l’équation 
du quatrième degré ; mais ils n’ont pas réussi à calculer les ra 
cines des équations de degré plus élevé, et c’est qu’en effet la 
chose n’était pas possible avec les moyens dont ils disposaient. 
Nous comprendrons la raison de cette impuissance si nous réflé 
chissons au sens très particulier que les algébristes attachent à ces 
mots : « résolution d’une équation », Résoudre une équation 
polynomale, c’est, par définition, trouver l’expression algébrique 
des racines en fonction des coefficients de l’équation (n° 318) ; or 
est-il certain que l’on puisse effectuer sur les coefficients d’une 
équation quelconque une combinaison d’opérations algébriques qui 
fournisse les racines de l’équation ( 2 )? A priori il n’y a évidemment 
aucune raison pour qu’il en soit ainsi, et de ce qu’une chance heu 
reuse se présente pour les équations des quatre premiers degrés 
nous ne saurions conclure que cette chance nous favorisera jusqu’au 
bout. Et de fait, la proposition suivante, pressentie par Gauss, a 
été démontrée en toute rigueur par le mathématicien norvégien 
Abel ( 3 ) : L’équation générale du cinquième degré 
(17) a B x 5 -+- y,x l -+- a 3 æ 3 a. 2 x‘ ¿ -4- a x x -f- a 0 = o, 
i 1 ) Il est un cas où la résolution de l’équation du quatrième degré se 
ramène immédiatement à la résolution d’une équation de second degré : 
c’est le cas où l’équation ne contient ni terme en x 3 , ni terme en x, et est 
de la forme ax i + bx2 + c = o ; prenant pour inconnue auxiliaire y — x 2 , 
l’équation s’écrit ay 2 + by + c = o et est du deuxième degré.— L’équa 
tion de la forme ax 1 -g bx 2 + c = o est dite bicarrée. 
( 2 ) C’est ce que fait observer Leibniz à son ami Tschirnhaus, qui 
faisait des efforts désespérés pour transformer les équations générales du 
cinquième et du sixième degré en équations susceptibles d’être résolues. 
( 3 ) Détermination de l’impossibilité de la résolution algébrique des équa 
tions générales qui passent le quatrième degré (1826) [Œuv. d’Abel, éd. 
Sylow-Lie, t. I, p. 66].