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LE CALCUL ALGÉBRIQUE 
Nous avons dit que, si n est supérieur à 4, il n’est en général pas 
possible de calculer algébriquement, en fonction des coefficients 
a n , ... cio, les racines de l’équation (i). Cependant on peut énoncer 
au sujet de ces racines, plusieurs propositions qui sont souvent 
plus utiles à connaître que la valeur même des racines. 
Et, tout d’abord, combien l’équation (i) a-t-elle ou peut-elle 
avoir de racines? L’algébriste de Leyde, Albert Girard, fut le pre 
mier à déclarer, dans son Invention nouvelle en l'Algèbre (Amster 
dam, 1629),que l’équation de degré n possède n racines (*), certaines 
de ces racines pouvant d’ailleurs être « imaginaires ». Girard allait 
un peu vite, et la signification des « quantités imaginaires » (voir 
n° 340 et Chap. v, § 3) n’avait pas encore été, de son temps, suf 
fisamment tirée au clair pour que son théorème pût être rigoureu 
sement établi. Cependant on le pouvait déjà pressentir. 
353. — Posons, pour abréger l’écriture, 
(2) P(æ) = a n x n H- ... + a x x -+- a 0 , 
et supposons que le nombre X\ soit une racine de l’équation (1) : 
je dis que l'on a l’identité 
(3) P(æ) = (x — x v ) . Q(x), 
Q(îc) étant un polynôme en x de degré n — 1. 
Faisons, en effet ( 2 ), le changement d’inconnue x — Xy -4- u 
(voir n° 330 et comparer n os 347 et 349) : le polynôme P(x) devient 
un polynôme en u (de degré n) : b n u 11 -f- b n _ x u n ~ 1 h- ... -h byii + h 0 , 
[les coefficients b„, ... h 0 sont des polynômes en. a n , ... «o et Xy\ ; 
et ce polynôme en u doit être nul lorsqu’on y fait u — o, ce qui 
prouve que b 0 est nul [le lecteur vérifiera sans peine que l’expres 
sion de b0 est a n x n y -h a n _yx , l~‘ l -+-... •+- a 0 , quantité qui est nulle 
puisque Xy est racine de l’équation ( 1 )]. Ainsi nous avons : 
P(x) == b n u n -1- ... H- hyii = u[b n u n ~ l -f- ... -h by\. 
(?) « Toutes les équations d’algèbre, dit Girard, reçoivent autant de solu 
tions que la dénomination [degré] de la plus haute quantité [puissance] le 
démontre ». 
( 2 ) La méthode exposée plus bas aux n os 872-78 conduit aux mêmes 
résultats.