PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE l’ÉQUATION DE DEGRÉ H 34q 
Remplaçant u par sa valeur x — xi, nous transformons le cro 
chet en un polynôme en x de degré n— i, — polynôme que nous 
désignerons par Q(x) : nous obtenons ainsi l’identité (3). 
Nous énoncerons ce résultat en disant que, si x y est une racine 
de l’équation P(œ) = o, le polynôme P(cc) est divisible (*) par 
(x — aq), le quotient étant un polynôme Q(a?) de degré n — i. 
Cela dit, appelons x% une seconde racine de l’équation (i). Les 
deux membres de l'identité (3) seront nuis lorsqu’on y remplacera 
l’inconnue x par le nombre x 2 . Mais {x 2 — Xi) n’est pas nul. Donc 
le polynôme Q(x) est nul pour x = x% [pour qu’un produit tel 
que (x — ¿Ci) . Q(æ) soit nul, il faut et il suffit que l’un des deux 
facteurs soit nul| ; j’en conclus que x± est une racine de l’équation 
de degré n — i, Q{x) = o, et que, par conséquent 
Q(x) = (x — x 2 ) . R(x), 
R(.x) étant un polynôme de degré n — 2. On a donc l’identité ; 
P(x) — (x — (x — x 2 ) . R(x). 
En répétant le même raisonnement, nous constatons finalement 
que, si l'équation (1) a p racines a?!. ... x p , on a l’identité 
(4) P(x) = (x — xd). ... (x — x p ) . S(æ), 
S(œ) étant un polynôme de degré n — p ; on dit que P(œ) est divi 
sible par le produit x — ¿ci). ... (x — x p ), le quotient étant S(as). 
354, — Il résulte de ces faits quel 'équation (1) a au plus n ra 
cines ; car si elle en avait davantage, le degré de S(œ) devrait être plus 
petit que o, ce qui est impossible. Si elle en a n, savoir Xi ..., x n , 
le polynôme S(£c) est de degré o en x ; il se réduit donc a un 
nombre constant, indépendant de x \ d ailleurs ce nombre, étant le 
coefficient de x n dans le développement du second membre de (4)■> 
est égal au coefficient a n de la même puissance de x dans le po- 
(ij Cf. La Géométrie de Descartes, liv. III (Œuo. de Descartes, III, 
p. 445) : « que la somme [le premier membre] d’une équation qui contient 
plusieurs racines, peut toujours être divisée par un binôme composé de 
la quantité inconnue, moins la valeur de l’une des vraies racines, laquelle 
que ce soit... ».