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LE CALCUL ALGÉBRIQUE 
lynome identique P (a?) [voir n° 312] ; par conséquent, on a 
l’identité : 
(5) P(œ) =a n x n H— ... -f- a { x -4-a 0 = a n [x — xd) (x — x 2 ) ... [x — x n ). 
355. Relations entre les racines et les coefficients de 
l’équation. — En développant le second membre de (5) sous 
forme d’un polynôme en x et écrivant (n° 312) que les coefficients 
de x n , x n ~ l ... sont les nombres a n , a n -1 ..., j’obtiens les égalités 
ou relations : 
( ((h 1—a n , a n —1—— - a n {x^ l x 2 ~~\ • ■ • ! a* n ), a n —2—a tl (^XiX 2 \ x 2 x%—\~...), 
(6) ) _L_ 
( ..., a 0 = ±a n x l x 2 ...x n , 
le dernier coefficient étant affecté du signe H- ou du signe — sui 
vant que le nombre des racines est pair ou impair [un produit de n 
facteurs tous négatifs est en effet positif ou négatif suivant la parité 
du nombre n : on peut remarquer que le signe d’un tel produit est 
le signe de (— i) n ; on écrira alors a 0 = (— 1)” a n x 1 x 2 ... &„]. 
Les « relations » ( r ) (6) permettent d’énoncer les propositions 
suivantes (comparer n os 338 et 348 j ; Si l'équation (1 ) an racines, 
Xi, x. 2 , ..., x n , la somme de ces racines est égale à —■ ¡ a 
somme de leurs produits deux à deux est égale à , ... ; leur 
produit est égal à (— i) n . — . 
356. Racines multiples. —- En désignant par X\, ...» x„ les n 
racines de l’équation (1), nous avons supposé implicitement que 
ces racines étaient distinctes (différentes) ( 2 ). Il est cependant ma 
nifeste que les conclusions auxquelles nous sommes parvenus sub 
sistent intégralement si plusieurs de ces racines sont égales, par 
exemple si Xi = x% ou si Xi = x-i~ X3. D’une manière générale, 
P) Ces relations sont formulées par Albert Girard (op. cit.). 
(“) Cf- Hudde, apud Geometria à Renato Descartes [vide supra, p. 284, 
note 1], 2 e éd., Amsterdam, 1609, p. 433 : Regula quæ modum docet 
reducendi отпет æquationem..., cujus incognita quantitas... duos vel 
plures sequales habet valores, et plus loin p. 007-9.