PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE l’ÉQUATION DE DEGRÉ R 351 
i 
f 
y 
supposons que le polynôme P(îc) satisfasse à une identité de la 
forme suivante : 
(7) P(æ) = a n [x — xj) ai [x — x 2 )** ... (x — x p fc, 
où a 1, a 2 ,..., a p sont des nombres entiers positifs dont la somme égale n 
(ai + a-2-h ... H- a p = n). Il nous est loisible d’admettre que cette 
identité n’est autre que l’identité (5) dans laquelle a t racines ont 
la même valeur Xi, a 2 racines ont la même valeur x 2 , etc. C’est 
pourquoi nous dirons en ce cas, que Céquation (i) a n racines, 
mais que, parmi ces racines, il y en a ai égales à Xi, a2 égales à 
x 2 , elc.\ les racines Xi, x-i, ..., seront dites a racines multiples » (*), 
les nombres correspondants ai, a 2 * étant appelés « ordres de 
multiplicité » des racines ; en particulier une racine multiple 
d’ordre 2 sera dite double, une racine multiple d’ordre 3 sera dite 
triple ; une racine non multiple sera dite simple. 
Moyennant ces conventions (c’est-à-dire : à condition de regar 
der une racine multiple comme consistant en plusieurs racines 
confondues), les propositions énoncées aux n os 354-55 subsistent 
dans le cas où les racines de l'équation ne sont pas toutes simples. 
357. Racines imaginaires et théorème d’Euler. — Suppo 
sons maintenant que l’équation (1) ait moins de n racines [chaque 
racine multiple étant comptée pour autant de racines que son 
ordre de multiplicité contient d’unités] : alors, pour sauvegarder le 
théorème de Girard, nous sommes amenés à dire que l’équation a 
des « racines imaginaires ». Mais c’est là une locution qui actuel 
lement n’a pour nous qu’un sens négatif. Mieux vaut donc laisser 
provisoirement de côté le théorème de Girard (nous y reviendrons au 
chap. v) et le remplacer par le théorème suivant qui fut énoncé par 
Euler ( 2 ) | nous omettons la démonstration de ce théorème, — dé- 
(*) Il résulte de cette définition qu’une racine x, est multiple d’ordre aq, 
p//p\ 
si P(œ] est divisible par [x—#1) Xl , le quotient -, étant un polynôme 
(x 
en x de degré n-— oq. 
( 2 ) « Omnem expressionem algehricam a 4- 87 + ~;x- + ox 3 -(- sx*, etc, 
— dit Euler — vel in factores reales [non imaginaires] simplices p + qx, 
vel saltem in factores reales quadratos p + qx + rx- resolvi posse. » [Corres 
pondance, éd. Fussj St-Pétersbourg, x843, I, p. 171, lettre à Goldbach].