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LE CALCUL ALGÉBRIQUE 
monstration qui d’ailleurs n’est pas complète chez Euler et que 
seule l’introduction systématique des imaginaires en algèbre a 
permis de rendre rigoureuse] : 
Quel que soit le polynôme de degré n, P{x), ce polynôme satis 
fait toujours à une identité de la forme ci-dessous : 
(8) P(rr) ==■ a n {x—aq) a ‘ ... (x—x p )* p (îp 2 H- ^!cc-h A-1)^ ... (æ 2 H-g q x-hk q Ÿ" 
oh les nombres u. v , ..., a p , jSi, fj q sont des entiers positifs tels que 
«1 —h a 2 —h ... —(— Mj, 2^1 H- 2p2 H— ... —(— = II. 
En d’autres termes, P(æ) est le produit d’un nombre a n par des 
binômes de la forme ( ] ) (x — xj) [ou par des puissances de ces 
binômes] et par des trinômes de la forme (x 2 gjx + kj) [ou par 
des puissances de ces trinômes]. 
D’ailleurs, en écrivant l’identité (8), nous supposons que les 
équations x 2 -t- gix -+- = o, cc 2 . —t— g^x -+- k 2 = o, etc., 
n’ont pas de racines [et, par conséquent, que g\ — 4Ai << o, 
g2 — 4A 2 <C o, etc.]. Si en effet, x 2 -+- g\x -+- k± = o, par exemple, 
avait des racines, nous aurions [en désignant ces racines par x p +i, 
x p+2 \ : x 1 h- g t x -h k { = (x — x p+l ) (x — x p+ j), et ( 2 ) nous rem 
placerions [x 2 -+- giX H- A,)' 1 " 1 par le produit 
{x — œ p+1 ) Pl . {x — x p+2 ÿ l 
dans Eidentité (8). 
Chaque facteur tel que (x — xj)** du second membre de (8) 
fournit une racine multiple d’ordre a y de l’équation (i), ou (d’après 
le n° 356) a.j racines confondues. Convenons de dire, d’autre part, 
que l’équation du second degré x 2 -h gjx +^=o a deux racines 
imaginaires [voir n° 340] : il est alors .naturel de considérer que le 
facteur (æ 2 -+- gjx -+- kj)*' 3 de l’identité (8) fournit 2 racines ima 
ginaires multiples de l’équation (i) dont chacune a pour ordre de 
multiplicité ^ ... Si l’on lait ces conventions, on attribuera fina 
lement <X\ -j- oî2 H- ... -h cc p -+- 2jSi -h ... -f- 2p g , c’est-à-dire n 
racines à l’équation de degré n. 
(b J’écris Xj pour signifier : l'un quelconque des nombres x u x 2 , ..., x P . 
( 2 ) Ce n est, en d autres termes, que lorsque nous y serons forcé- 
(g? — 4Aq étant négatif) que nous laisserons, dans l’Identité (8), un tris 
nome de la forme (a; 2 + g iX -f- Aq) au lieu de décomposer ce trinôme en 
un produit de deux binômes [x — x p +i) [x — x p +%).