PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE l'ÉQUATION DE DEGRÉ lï 353 
358. Critères relatifs à l’existence des racines réelles. — 
Etant donnée une équation polynomale de degré n 
a n x n H- o n —! a?’ 1 1 -h ... H- a 0 = o, 
dont les coefficients sont des nombres donnés quelconques, existe- 
t-il des critères simples permettant de reconnaître rapidement si 
cette équation a des racines réelles, combien elle en a et quels sont 
lès signes de ces racines ? Les critères ont été proposés en grand 
nombre; les plus importants sont ceux qui résultent des propriétés 
des « dérivées » dont nous nous occuperons au chapitre xi du pré 
sent livre; bornons-nous pour l’instant à énoncer, sans démonstra 
tion, une règle classique que Ton appelle d’ordinaire règle ou 
théorème de Descaries. 
Laplace énonce cette règle comme il suit dans les leçons qu’il 
donna à PEcoIe Normale en 1796 (,Journ. de l’Ec. Polytechn., 7 0 
cahier, p. 43). « Deux termes consécutifs d’une équation qui ont 
le même signe forment une permanence ; s’ils ont différents signes, 
ils forment une variation. Par termes consécutifs, j’entends ceux 
dans lesquels les exposants de l’inconnue ne diffèrent que d’une 
unité. 
« 11 ne peut y avoir dans une équation plus de racines réelles 
positives que de variations; il ne peut y avoir plus de racines 
réelles négatives que de permanences... 
« De là suit que, si toutes les racines sont réelles, il y a autant 
de racines positives que de de variations et autant de racines né 
gatives que de permanences. C’est la fameuse règle de Descartes ». 
Conjointement avec ce théorème, on peut établir nombre de pro 
positions relatives à l’existence des racines réelles et à leurs signes, 
par exemple celles-ci : 
Une équation de degré impair a toujours au moins une racine 
réelle [cf. p. 54o, note 1 ]. 
Une équation dont tous les coefficients ont le même signe n a pas 
de racine positive. 
Une équation dont tous les premiers termes ont le signe +, tous 
les termes suivants ayant le signe —, a une racine positive et une 
seule. 
359. Racines d. un polynôme. — Observons, avant de quitter 
Boutroux. — Les Principes de l’Analyse mathématique. 2 3