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LE CALCUL ALGÉBRIQUE 
8. — Systèmes d’équations simultanées. 
362. Emploi de la méthode de substitution. — Nous avons 
montré (n os 222 et 329) comment, par la méthode dite de substi 
tution, 3a résolution d’un système de n équations simultanées 
[à n inconnues] peut être ramené à la résolution de systèmes de 
n — i équations h n — i inconnues (’). Ainsi, par l’application 
répétée de la même méthode, on parvient de proche en proche à 
éliminer toutes les inconnues sauf une et l’on est ramené à la réso 
lution d’équations qui ne contiennent plus qu’une seule inconnue. 
La méthode de substitution, il est vrai, ne pourra pas toujours 
être appliquée dans la pratique, ainsi que nous en avons fait la re 
marque à la fin du n° 329. Mais elle nous montre immédiatement 
que le nombre des solutions d’un système de n équations polyno- 
males augmentera très rapidement lorsque les degrés de ces 
équations iront en croissant. En effet, supposons que la première 
équation du système, traitée comme une équation en x, soit de 
degré m par rapport à x, et ait m racines : j’en tirerai alors m 
expressions différentes de x que je porterai successivement dans 
les n — i équations restantes du système, et je ramènerai ainsi 
la résolution de mon système à celle de m systèmes de n — i 
équations an — i inconnues; cela posé, si chacun des m sys 
tèmes auxquels nous a conduits la première élimination (élimi 
nation de x) n’admettait qu’un système de solutions, le système 
proposé en admettrait m ; mais si les équations de ces systèmes 
sont de degré p, supérieur à i, par rapport à la seconde inconnue 
à éliminer, soit y, chacun d’eux se décomposera à son tour, et Ton 
aura à envisager (après l’élimination de y) mp systèmes d’équa 
tions à (n— 2) inconnues. Et ainsi de suite. C’est pourquoi, dès 
que l’on a affaire à des équations de degré supérieur à 2, la réso 
lution des systèmes ne peut être en général effectuée exactement, 
parce qu’elle nécessiterait la résolution d’une ou plusieurs équa 
tions à une inconnue dont le degré surpasse 4 (voir n° 350). 
Nous considérerons exclusivement, dans les pages qui vont 
suivre, des systèmes d’équations du premier et du second degré. 
( 1 ) Un tel système est en général déterminé (voir n° 3a3), ce qui ne veut 
pas dire, bien entendu, qu’il admette un système de solutions uniques, 
mais seulement que l’on ne peut choisir arbitrairement la valeur d’au 
cune des inconnues.