SYSTÈMES d’ÉQUATIONS SIMULTANEES 
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363. — Dans la Géométrie de Descartes (Œuv. de Descaries, 
t. X, p. 6-3), les systèmes d’équations et la méthode à suivre 
pour les résoudre sont définis dans les termes suivants, qui ré 
sument l’essentiel de ce que nous avons dit et allons dire sur eux : 
« Mais lorsque le problème proposé est tel qu’une seule lettre 
inconnue n’a point assez de communication avec celles qui sont 
connues, en sorte qu’elles ne sauraient s’entraider pour faire trouver 
l’équation, ou bien que par la supposition d’une seule lettre, on 
s’embarrasse dans un trop gros calcul, on se doit servir de plusieurs 
lettres inconnues, et chercher aussi autant d’équations qu’on a 
supposé de lettres, et par le moyen d’icelles équations réduire 
toutes ces lettres en une seule, qui porte la solution du problème. 
Et pour venir à bout de ces réductions, il est besoin de considérer 
si, par une équation ou par la comparaison de deux ou plusieurs, 
en les ajoutant ou soustrayant l’une de l’autre, on ne pourra con 
naître une lettre. Et si cela ne se peut( 1 ),il faut venir à l’extraction 
de la racine pour en trouver une ; puis après, on doit ôter cette lettre 
de l’une des autres équations, et en son lieu mettre la valeur 
trouvée; et ainsi on sera quitte d’une lettre inconnue. Puis, com 
parant cette équation avec une autre dont on aura aussi ôté cette 
même lettre, si elle y était, on se défera d’une seconde; et ainsi 
des autres, jusqu’à ce qu’il n’en reste plus qu’une inconnue parmi 
toutes les connues, dont on mettra les termes par ordre. Et on 
connaîtra, par extraction de racine, quelle est la valeur, comme 
devant; et ainsi le problème sera résolu. » 
Les premières lignes de ce passage contiennent une remarque 
utile à faire : c’est que c’est souvent de son plein gré, et pour la 
commodité des calculs, que l’algébriste considère un système de 
plusieurs équations à plusieurs inconnues au lieu de raisonner sur 
une équation unique à une inconnue. Ainsi la résolution de 
l’équation x 3 -4- — = 2 et celle du système 
\Jx 
X 3 -+- y = 2 
XJ 2 = I 
(') On voit que Descartes ne préconise l’élimination par substitution 
que comme un pis-aller. Il est, en revanche, partisan de la méthode de 
réduction, que nous définirons an n° 365.