PROPRIÉTÉS DE LA SUITE CROISSANTE DES NOMBRES 
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Nous pouvons donc, finalement, écrire l’égalité 
S3 (1 -h a) 3 = n -h 3 x S h— 3 X S 2 -f- S 3 
ou, en retranchant des deux membres (c’est-à-dire des deux côtés 
du signe =) le nombre S 3 qui est égal à lui-même : 
V 4-1, 
( 1 H- n) 9 = n + 3 x S -h 3 x s 2 . 
Mais je connais la somme S : elle est égale (12) à n x ^ 1 ). 
En la remplaçant par celte valeur dans mon égalité et retranchant 
des deux côtés du signe ==, la somme n + ^ X n X ^' 1 j’oh- 
tiens la valeur cherchée de S 2 : 
3 X S-2 ■—- (1 —)— nf — n — 
3 X n X (n -f- 1' 
En appliquant les règles de la transformation algébrique que nous 
étudierons plus loin, on mettrait l’expression de S2S011S la forme 
plus simple que voici : 
/1 X (a H- 1) X (an 1) 
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18. Nombres polygonaux. — Nous avons vu que la somme 
des n premiers nombres a pour valeur 
n X («+ 1) 
. Les Pylhago- 
riciens donnaient au nombre ^ ~*~ I - le nom de « nombre 
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triangulaire », et ils justifiaient ainsi celte appellation. Considé 
rons un triangle isocèle formé de points, comme l’indique la figure 
• ci-contre. Nous voyons, que si n est le nombre de points 
que contient la base du triangle (4 sur notre figure), le 
. . , , nombre total despoints du triangle n’est autre que 
1 -f- 2 -4- 3 -h ... -4- n, c’est-à-dire ,l x ( n ■~ l ~ 1 ^. Nous donnerons, 
donc, des nombres triangulaires la définition suivante : Le nombre 
triangulaire de rang n est égal à la somme des n premiers nombres 
entiers. 
La notion de nombre triangulaire avait conduit les anciens à 
définir toute une série de classes de nombres qu’en raison de cer-