SYSTÈMES D’ÉQUATIONS SIMULTANÉES 
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(8) sont satisfaites par la valeur x = o]. Donc les égalités (9) 
et (10) prouvent respectivement que 
_ AC' — CA/ . BC' — CB' 
‘ r ‘ ~ AB — BA' et Æl AC' — CA' ’ 
si(‘) toutefois ( 2 ) AB' — BA' ^zt o et AC — CA' ;zf o. 
Ainsi nous avons deux expressions différentes de même nombre aq. 
Exprimons qu’elles sont égales : nous obtenons une égalité qui 
peut s’écrire 
(11) (AG' — CA') 2 — (AB' — BA') (BC' — CB') = o. 
Telle est la relation à laquelle nous aboutissons, à condition tou 
tefois que, comme nous l’avons supposé chemin faisant, G et C'ne 
soient pas tous deux nuis et que AB'—BA';zfo, AC'— CA';zfo. 
Mais si l’une des quantités AB' — BA', AC' — CA' est nulle, 
les égalités (9) et (10) nous montrent que les trois quantités 
AB' — BA), (BC' —CB'), (AC' — GA.') sont sûrement nulles 
toutes les trois [ les égalités ne peuvent être satisfaites qu’à celte 
condition] ; donc la relation (11) est encore vérifiée. Elle est vé 
rifiée également si C et C' sont nuis, car alors tous ses termes 
sont égaux à zéro. Donc, dans tous les cas, la condition nécessaire 
et suffisante pour que les deux équations (8) aient une racine 
commune est que l’égalité (11) ait lieu ( 3 ). 
(’) Si leurs dénominateurs étaient nuis, les fractions n’auraient pas de 
sens. 
( 8 ) Le signe 7^ signifie : différent de zéro. 
( 3 ) Le premier membre de la relation (ri) est souvent appelé résultant 
des deux équations (8). On énonce alors la proposition suivante : Pour 
que deux équations du second degré en x aient une racine commune, il 
faut et il suffit que leur résultant soit nul. Dans le cas particulier où l’on a 
à la fois les égalités 
AB' — BA' = o, BC' — CB' = o, AG' — CA' = o, 
.A’ B' C' . 
on constate immédiatement que 1 on a les proportions — g = q • Ap- 
pelons X la valeur commune de ces trois rapports : la seconde équation 
(8) qui a pour coefficients AX, BX, CX peut s’écrire X (Ax 2 + Bx 4- C) = o 
et elle aies mêmes racines que l’équation Ax'- Bx + G = o (n° 3a(i). 
Donc, en ce cas particulier, ces deux équations ont, non pas une, mais 
leurs deux racines communes.