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LE CALCUL ALGÉBRIQUE 
371. Remarque. — La question que nous venons de traiter 
peut être regardée, si Ton veut, comme un problème à’élimination 
(329) relatif à deux équations à deux inconnues (du second degré 
par rapport à l’une des inconnues). 
Supposons en effet (*) que les coefficients A, B, ... G' soient des 
fonctions, d’ailleurs quelconques, d’une quantité y : alors les équa 
tions (8) constituent un système de deux équations à deux incon 
nues. Si un couple de nombres Xi, ji, est solution de ces équa 
tions, il en faut conclure que pour y = y y , les deux équations (8) 
en x admettent x y comme racine commune ; en conséquence, les 
coefficients A, B, — G' doivent, lorsqu’on donne à y la valeur y t , 
satisfaire à la relation (n). La relation (n) est, dès lors, une 
équation en y qui admet y v comme racine ; c’est le résultat de l’é 
limination de x entre les deux équations (8). 
9. — Division des polynômes en x et décomposition 
des fonctions rationnelles 
372. — On peut faire de la division des polynômes en x une 
théorie qui est tout îi fait analogue à la théorie de la division 
arithmétique. Appelons A (x) et B (ce) deux polynômes en x dont 
les degrés soient respectivement n et m et supposons n supérieur 
ou égal à m. Effectuer la division de A(x) par B(x) ce sera, par 
définition, mettre A(cc) sous la forme 
(i) A(x) = B (a;) . Q[x) -h R(æ), 
Q(af) étant un polynôme de degré n — m (appelé quotient de la 
division) et R(x) un polynôme de degré inférieur à m (appelé reste 
de la division) ; ce sera donc, en d’autres termes, trouver deux 
polynômes Q[x) et J\{x) [l’un de degré n — m, l’autre de degré 
inférieur à m] qui satisfassent, quel que soit x, à l’identité (i). 
On démontre que, quels que soient les polynômes A et B, la 
( 1 ) CLBezout, Recherches sur le degré des équations résultantes de l’évanouis 
sement des inconnues et sur les moyens qu’il convient d’employer pour 
trouver ces équations, apud Hist. de l’Acad. de Paris, 1764.