DIVISION DES POLYNOMES EN X, ETC.
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détermination des polynômes Q et R satisfaisant aux conditions
recpiises est toujours possible. Soient', en effet, A(at) etB(x) ordon
nés par rapport aux puissances décroissantes de x et mis sous la
forme
A(x) — ci n x n —(- ci n —yx n 1 —(— ... -4- a,y x —l— a 0
B(x) — b m x m -+- b m _yx m ~ l -+- ... h- b y x h- 6 0 .
Supposons, pour un instant, que le polynôme Q ait été trouvé (*),
et écrivons-le sous la forme
Q(æ) = A n _ m x n m -f- ... -(- AyX -+- Aq ]
nous allons chercher quelles valeurs il faut donner aux coefficients
Xn_m, Xi, X 0 , pour que la supposition ainsi faite soit légitime.
Remplaçant A, B, Q par les développements écrits ci-dessus, for
mons la différence K[x) — B(æ) . Q{x], et ordonnons-la par rap
port aux puissances décroissantes de x. Cette différence est un
polynôme de degré n, qui s’écrit
fin b n ^t\ n _ m )x n —)— (d„_i b m A n —m—l m)® n 1 ~t~ • ••
-h fiy Mo Ml)® + («0 Mo)-
Exprimant que le polynôme est identiquement nul (312) égalons
à zéro ( 2 ), les coefficients de x n , x n ~\ ..., x n ~ m ; nous avons
n — m -+- i égalités qui constituent un système de n — m -f- i
équations polynomales simultanées du premier degré permettant
de déterminer les inconnues X„_ m , X n _m-i, ..., Xi, X 0 . J’en conclus
que si je donne aux coefficients X les valeurs définies par ce sys-
(*) Cette méthode de démonstration n’est autre que la méthode des
coefficients indéterminés que nous appliquerons tout à l’heure (n° 876) dans
un cas plus compliqué).
( 2 ) Egalant à zéro le coefficient de x n , j’obtiens A n _ m = ~ ; portant
cette valeur dans le coefficient de x n ~ l et égalant ce coefficient à o,
j’obtiens = y {fin-1 — ° ■ 1 j ; et ainsi de suite. — Dans la
pratique, pour calculer le quotient de la division de A(x) par B(x), on
évite d’écrire les lettres X„_ m , ..., (représentant les coefficients inconnus
dudit quotient) en adoptant une disposition et des règles de calcul qui
rappellent celles de la division arithmétique (voir les traités d’algèbre
élémentaire).
