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LE CALCUL ALGÉBRIQUE 
Verne, la différence A — BQ sera un polynôme en x de degré 
m — i au plus. Appelant R(æ) ce dernier polynôme, j’obtiens ( 1 ), 
comme il était requis, une identité de la forme (i). 
373. Divisibilité. — Conformément à la définition de la divi 
sion des polynômes, un polynôme en x, A(œ), sera dit divisible ( 2 ) 
parmi autre polynôme B(cc), de moindre degré, si le reste de la 
division de A(œ) par B(x) se réduit à zéro. 
Il est manifeste que, si A (a?) est divisible par B(æ), toute racine 
de B (as) [voir n° 359], est aussi racine de A (as). Plus précisément 
supposons que A(as) et B(as) aient été décomposés en produits sous 
la forme indiquée au n° 357 ; nous aurons 
(a) A (x) = a n (x—a;,)“ 1 ... (as— x p ) Up (x 2 -hg 1 x-\-k l )^ 1 ...(as 2 -h g q xd-k q fî 9 
avec «J -r ... -4- a p + 2pi -+- ... 3S (/ = n, et une identité ana 
logue pour B (as). Convenons d’appeler facteur premier de A (as) [ou 
de B(as) j tout facteur ( 3 ) de la forme (as — xj) ou (as 2 + gyx H- kff 
j l’indice j étant quelconque]; nous dirons alors que l’égalité (2) 
donne la décomposition de A(as) en facteurs premiers. Cela posé, 
on peut démontrer que si A est divisible par B, tous les facteurs 
premiers de B (as) figurent dans la décomposition de A(as) avec un 
exposant au moins égal à celai qu’ils ont dans la décomposition 
de B (comparer n° 24). 
374. Fonction rationnelle de x: — Soit le quotient de 
deux polynômes, une fonction (ou fraction) rationnelle de as (voir 
n° 315). Pour faire l’étude générale d’une telle fonction, on a tou 
jours le droit de supposer que le degré de B est inférieur à celui 
(•) Exemple. — La division de aa4 — 5a:’ + 73; — 1 par x 2 4- x 4- 1 
donne comme quotient 2a; 2 — 2a: — 5 et comme reste \l\x 4- 4. On a, en 
effet : 2æ v — 5a; 2 4- ^x — r = (a; 2 4- x 4- 1) [‘¿x 1 — 2.x — 5) 4- 14a; 4- 4- 
( 2 ) D’une manière générale un polynôme portant sur un nombre quel 
conque de variables — par exemple un polynôme P(a:, y, z) —en x, y, z 
est dit divisible par un polynôme Fia;, y, z', s’il existe un polynôme 
Q[x, y, z) tel que l’on ait 
Q(x, y, z]. F{x, y, z] = P|a:, y, z]. 
( 3 ) Ces facteurs sont les polynômes les plus simples par lesquels A l’a;) 
soit divisible. Pratiquement, pour reconnaître si A(x) est divisible par un 
polynôme donné de la forme x — l, il suffit de voir si Z est racine de poly 
nôme, c’est-à-dire si l’on a ou non : a„l n 4- ... + ad + «0 = 0.