ÉTUDE DES FONCTIONS d’uNE VARIABLE 
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les coefficients sont des constantes , et fonctions rationnelles 'rap 
ports (quotients) de polynômes en x, cf. 374 . 
Considérons d’une manière générale une expression où n’entrent, 
en fait d’opérations effectuées sur x (voir 379) que des additions, 
soustractions, multiplications et divisions : il résulte des règles 
de calcul données au § 9 du chapitre i que cette expression peut 
toujours être mise sous forme d’un quotient de polynômes [com 
parer n° 376) : elle définit donc une Jonction rationnelle. 
Si par contre il entre, dans f[x), parmi les opérations effec 
tuées sur la variable, des extractions de racines (élévations à des 
puissances fractionnaires), la fonction y = f[x) est une fonction 
algébrique non-rationnelle exemple : la fonction y = fx* h— î ]. 
389. Conventions relatives aux fonctions non-rationnelles. 
— INous avons fait au n° 136 la convention suivante : par le sym- 
bole a q , ou \/a (où q est un entier positif), est désignée celle des 
racines d’ordre q du nombre a qui a le meme signe que a. 
Celle convention, fort naturelle dans le cas où a est un nombre 
déterminé et connu, n’a plus de raison d’étre si la quantité sous le 
radical est une fonction d’une variable x ; une telle quantité, en 
effet, n’a pas de signe déterminé quand x varie. C’est pourquoi, 
lorsque nous écrirons (sans plus) le symbole \/f[x) ou \f[x)] % nous 
rinlerpréterons désormais comme pouvant représenter à volonté 
(si q est pair) une racine positive ou une racine négative. 
Lorsque nous écrirons, d’autre part, une identité où entre l’ex 
pression \/f[x), il sera entendu que l’identité est valable quelle que 
soit celle des racines q mQS de f[x) que l’on y considère (à condition, 
bien entendu, que, dans une même identité où l’expression figure 
plusieurs fois, on ne lui attribue jamais qu’une seule valeur pour 
une même valeur de x). 
Quant au symbole (‘) ±\Jf[x), nous l’emploierons quand nous 
désirerons spécifier que nous considérons à la fois la racine posi 
tive et la racine négative de f[x). 
390. Fonctions algébriques explicites ou implicites. — 
En combinant les cinq opérations fondamentales, nous pouvons 
(') La symbole ± se lit plus ou moiis (cf. n° 338). 
Boutroux. — Les Principes de l’Analyse mathématique. a5