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CALCUL DES FONCTIONS 
403. — Ces remarques faites, proposons-nous de poursuivre 
l’étude de la croissance ou de la décroissance d’une fonction algé 
brique. Pour faciliter cette élude, nous allons être amenés à définir 
une opération nouvelle, dont la portée est considérable ; l’opération 
de la dérivation. 
2. — Dérivées 
404 Le rapport — Considérons (‘) une fonction de x, que 
je désignerai par le symbole y{x), qui soit égale à y 0 pour x égale 
à x 0 , et univoque et continue au voisinage de x 0 . Je suppose que je 
fasse varier x avec continuité à partir de x 0 (n° s 397 sqq.) : cela re 
vient à donner à x un certain accroissement h (d’ailleurs positif ou 
négatif) : la variable x, en d’autres termes, passe de la valeur x 0 à 
la valeur oc x 0 f- h. Pendant ce temps, la variable y subit, elle 
aussi, un accroissement k, positif ou négatif : elle passe de la valeur 
jo à la valeur y — y 0 -+- k. 
D’après len°400, la fonction y est croissante ou décroissante 
au voisinage de x 0 suivant que les accroissements k et h sont de 
même signe ou de signes contraires, et, par conséquent, suivant 
que le rapport l est positif ou négatif. Ainsi le signe de ce rapport 
indique le sens de la variation de la fonction. Ce n’est pas tout : la 
valeur absolue du rapport peut être considérée comme donnant 
la mesure de la rapidité avec laquelle la fonction y est croissante 
ou décroissante lorsque x varie de £c 0 à £C 0 -f- h. En effet, si ce rapport (*) 
(*) La notion de dérivée est, comme nous le verrons au chap. ni, § 3, 
intimement liée à celle de tangente à une courbe, et c’est sous ce vête 
ment géométrique qu’elle apparut d’abord dans la science ; elle fut défi 
nitivement tirée au clair par Newton et Leibniz [voir infra, Trois. Liv., 
chap. nj. G est de l’œuvre de ce dernier géomètre que procède histori 
quement le calcul des dérivées tel que nous le pratiquons aujourd’hui : 
les règles principales en sont exposées dans le traité « Nova methodus 
pro maximis et minimis itemque iangentibus, quæ nec fractas nec irra- 
tionales quantitates moratur, et singuiare pro illis calculi genus » qui fut 
publié dans les Acta eruditorum en i684. Le mot derivare est introduit 
par Leibniz dans sa Réponse à Newton de 1G77 (Mathem. Werk., t. I, 
p. 154-62).